штабу, прямыми AB и АС; если на направленіи данныхъ силъ построить параллелограммъ ABCD, то, какъ извѣстно, діагональ послѣдняго (АD) дастъ намъ искомое рѣшеніе, т. е. представитъ равнодѣйствующую R или, иначе говоря, силу, производящую то-же дѣйствіе какъ и Р_1 Р_2.
Разсматривая вышеуказанный параллелограммъ, мы видимъ, что онъ діагональю разбивается на два равные треугольника, у которыхъ одна изъ сторонъ, АС или BD, равна силѣ Р_2, другая, АB или DC, — силѣ Р_1 и, наконецъ, третья — АD, равнодѣйствующей; поэтому, для опредѣленія послѣдней, можно ограничиться построеніемъ одного изъ указанныхъ треугольниковъ, т. е. (черт. 2) черезъ конецъ одной изъ силъ—положимъ Р_2—провести параллельно другой, прямую CD, отложить на ней вели
чину Р_1 и соединить точку D съ А; прямая АD, очевидно, будетъ равнодѣйствующею; наконецъ, обозначая направленія соотвѣтствую
щихъ силъ, мы видимъ, что R дѣйствуетъ въ сторону противуположную силамъ Р_1, Р_2.
На основаніи сказаннаго, приходимъ къ слѣдующему заключенію: замыкающая сторона треугольника (АD), построеннаго по двумъ даннымъ силамъ, представляетъ равнодѣйствующую послѣднихъ.
Для большей ясности чертежа, построеніе треугольника силъ произведемъ въ сторонѣ; для этого (черт 3); черезъ произвольную точку 0 проводимъ прямую 01, параллельную и равную силѣ Р_1, черезъ конецъ послҍдней — линію 12, параллельную и равную
Р_2; соединивъ начальную (0) и конечную (2) точки прямою 02, получимъ замыкающую, равную по величинѣ искомой равнодѣйствующей; далѣе — обозначемъ сторону дѣйствія силъ Р_1; Р_2, направленіе В принимаемъ въ противуположную сторону и, наконецъ, черезъ точку пересѣченія силъ (А) проводимъ линію равную и параллельную 02, причемъ опредѣлится положеніе равнодѣйствующей К.
Вопросъ нѣсколько усложняется, если точка пересѣченія данныхъ силъ находится внѣ предѣловъ чертежа; въ этомъ случаѣ величина и сторона дѣйствія равнодѣйствующей опредѣлятся по предыдущему (черт. 4), но положеніе ея, пока, остается неизвѣстнымъ, такъ какъ точка пересѣченія составляющихъ, лежа
щая на направленіи искомой равнодѣйствующей, не можетъ быть назначена на чертежѣ.
Подобный же случай встрѣчается при сложеніи силъ параллельныхъ (черт. 5); здѣсь, для полученія величины и стороны дѣй
ствія равнодѣйствующей, строимъ по предыдущему, треугольникъ силъ, т. е. черезъ произвольную точку (0) проводимъ линію (01), равную и параллельную Р_1, черезъ конецъ ея (1) — прямую (12) равную и параллельную Р_2; очевидно, что въ этомъ случаѣ линія 012, вслѣдствіе параллелизма силъ, будетъ прямою, совпадающею съ замыкающею 02, т. е съ линіею, соединяющею начальную (0)
и конечную (2) точки; слѣдовательно, при сложеніи параллельныхъ силъ, треугольникъ ихъ превращается въ прямую, и равнодѣй
ствующая равна алгебраической суммѣ составляющихъ; что-же касается до положенія первой, то оно, пока, остается неизвѣстнымъ.
Ниже будетъ указанъ общій пріемъ, служащій для опредѣленія точки на направленіи равнодѣйствующей, но предварительно мы должны разсмотрѣть нѣсколько задачъ, относящихся до разложенія силъ.
Если дана нѣкоторая сила Р, дѣйствующая на твердое тѣло, и требуется разложить ее по двумъ, совершенно произвольнымъ, направленіямъ, то подобный вопросъ можетъ имѣть безчисленное множество рѣшеній; такъ (черт. 6), проведя через ь произвольную точку (А), взятую на направленіи силы Р, прямыя АВ, АС и, па
раллельно имъ, черезъ конецъ той-же силы, DB, СЕ, получимъ па
раллелограмъ АBСD, стороны котораго представляютъ величину искомыхъ составляющихъ; очевидно, что, съ измѣненіемъ напра
вленія сторонъ параллелограма, перемѣнится также (черт. 7) ихъ длина, т. е. величина составляющихъ.
Разсматривая послѣдніе чертежи, мы видимъ, что здѣсь тоже, какъ и при сложеніи силъ, можно ограничиться построеніемъ одного изъ треугольниковъ АВD или АВС, причемъ двѣ вершины (А, D) опредѣляются величиною силы Р, третья же (С или B) остается
произвольною; далѣе, въ виду большей ясности чертежа, построеніе это можетъ быть произведено въ сторонѣ, для чего: проводимъ (черт. 8) линію (01), параллельную и равную данной силѣ Р, и, выбравъ произвольно, точку С, соединяемъ ее съ 01; тогда полу
чается искомый треугольникъ, въ которомъ стороны Ос, 1с, взятыя по направленію противоположному 01, представятъ величину со
ставляющихъ Р_2 Р_1 ; наконецъ, — черезъ произвольную точку А, взятую на направленіи Р, проводимъ, параллельно сторонамъ
(Ос, 1с), премия AB, АЕ и откладываемъ на нихъ величину р_1 и р_22; при иномъ положеніи точки с — ветчина и направленіе составляющихъ будутъ также иныя.
Въ томъ случаѣ, когда направлен и величина одной изъ составляющихъ будутъ дана, вопросъ имѣетъ только одно опредѣ
ленное рѣшеніе; такъ, положимъ, что (черт. 9) р_1 извѣстна; тогда, очевидно, соединяя точку B съ D и проводя DC, АЕ, параллельно АB, BD, получимъ параллелограммъ, а, слѣдовательно, и искомую составляющую р_2. Подобнымъ же образомъ рѣшая этотъ во
просъ посредствомъ вспомогательнаго треугольника силъ (черт. 10), т. е. проводя 01 и 1С параллельно даннымъ направленіямъ и со
единяя 0 съ С, найдемъ искомую величину ОС, причемъ параллельно послѣдней можетъ быть проведена составляющая АЕ.
Познакомившись съ этими случаями, можемъ перейти къ рѣшенію предложеннаго выше вопроса, а именно — къ опредѣленію точки, лежащей на направленіи равнодѣйствующей двухъ силъ; при этомъ предварительно находимъ величину и сторону дѣйствія первой, для чего строимъ (черт. 11) треугольникъ 012; далѣе, разложимъ силу Р_1 на двѣ совершенно произвольныя составляю
щія, причемъ будемъ придерживаться способа, указаннаго на черт. 8, т. е. выберемъ произвольно (черт. 11) точку С, соеди
нимъ ее съ концами (0,1) силы Р_1 и параллельно прямымъ 0С, 1С проведемъ черезъ произвольную толку А — лежащую па на
правленіи AD — составляющія АB и АЕ ; затѣмъ разложимъ Р_2 на двѣ силы, такъ, чтобы одна изъ нихъ была равна и прямо-противоположна АЛ, т. е. 1С; здѣсь опять встрѣчается случай, разсмотрѣнный на черт. 10; сообразно съ этимъ — для полученія дру
гой составляющей силы Р_2 — достаточно соединить точку С съ 2; далѣе, по вышесказанному, одна изъ составляющихъ должна быть
прямо противуположна BА; поэтому положеніе ея опредѣлится, продолживъ послѣднюю (AB), и выразится прямою А D (черт. 12);
для второй составляющей — проводимъ черезъ точку А линію А E , параллельную С_2.
Разсматривая найденныя силы, мы видимъ, что, въ данномъ случаѣ Р_1, Р_2 могутъ быть замѣнены оставляющими AB. АЕ , А В А Е ; но, такъ какъ AB и А В , будучи равны и прямо
противуположны, взаимно уравновѣшиваются, то остаются только АЕ и АЕ , дѣйствіе которыхъ, слѣдовательно, будетъ то-же, что и силъ Р_1, Р_2; далѣе, какъ извѣстно, равнодѣйствующая двухъ силъ проходитъ черезъ точку ихъ пересѣченія, которая для АЕ.
и А Е , будетъ въ х; кромѣ того, принимая во вниманіе, что дѣйствіе Р_1, Р_2 съ одной стороны — равно таковому АЕ и АЕ — съ другой, или иначе говоря, какъ тѣ, гакъ и другія имѣютъ одну и ту-же равнодѣйствующую, мы видитъ, что точка х будетъ искомою, т. е. она лежитъ на направлена равнодѣйствующей двухъ данныхъ силъ Р_1, Р_2.
Указанный способъ опредѣленія точки, лежащей на направленіи равнодѣйствующей двухъ силъ, знакомить насъ съ основною теоремою графической статики, состоящей въ слѣдующемъ.
Разсматривая направленіе четырехъ составляющихъ (черт. 12), легко видѣть, что дѣйствіе ихъ не измѣнится, если твердое тѣло
замѣнить связью аАА а , состоящею изъ гибкой, но нерастяжимой нити, расположенной по направленію силъ (черт. 13) ВА, р_1, р_2 А В ; и дѣйствительно: единственное условіе, которому дожно удовлетворять твердое тѣло, состоитъ въ его неизмѣняемости; по назван
ная связь, при расположеніи ея по направленію силъ, будучи подвержена вытягиванію, также неизмѣняема, потому что, согла
сно предположенію, обладаетъ свойствомъ нерастяжимости; слѣ
довательно, въ томъ и другомъ случаѣ, условія, при которомъ
дѣйствуютъ силы, остаются одни и тѣ-же, и твердое тѣло можетъ быть замѣнено фигурою аАА а , носящею названіе веревочнаго многоугольника; далѣе, замѣчая, что выборъ точки А (черт. 12) произволенъ, и принимая во вниманіе способъ проведенія соотвѣт
ствующихъ линій, мы видимъ, что построеніе веревочнаго многогоугольника можетъ быть произведено слѣдующимъ образомъ: че
резъ произвольную точку а (черт. 14) слѣдуетъ провести прямую (аА), параллельно первому лучу (0С), до пересѣченія ея съ на
правленіемъ силы P_1 въ точкѣ А; черезъ послѣднюю вычерчивается сторона (АА ) параллельно второму лучу (1C) до пересѣченія ея
съ Р_2 и, наконецъ сторона A a параллельная 2С; продолжая (черт. 15), крайнія стороны веревочнаго многоугольника (аА, А а ) до взаимнаго ихъ пересѣченія, найдемъ точку х, лежащую на направленіи равнодѣйствующей силъ Р_1, P_2.
Очевидно, что проведеніе составляющихъ AB, А В (черт. 13) совершенно лишнее; здѣсь же замѣтимъ, что, въ виду произвольнаго выбора точки а, удобнѣе проводить сторону аА такъ, чтобы
Разсматривая вышеуказанный параллелограммъ, мы видимъ, что онъ діагональю разбивается на два равные треугольника, у которыхъ одна изъ сторонъ, АС или BD, равна силѣ Р_2, другая, АB или DC, — силѣ Р_1 и, наконецъ, третья — АD, равнодѣйствующей; поэтому, для опредѣленія послѣдней, можно ограничиться построеніемъ одного изъ указанныхъ треугольниковъ, т. е. (черт. 2) черезъ конецъ одной изъ силъ—положимъ Р_2—провести параллельно другой, прямую CD, отложить на ней вели
чину Р_1 и соединить точку D съ А; прямая АD, очевидно, будетъ равнодѣйствующею; наконецъ, обозначая направленія соотвѣтствую
щихъ силъ, мы видимъ, что R дѣйствуетъ въ сторону противуположную силамъ Р_1, Р_2.
На основаніи сказаннаго, приходимъ къ слѣдующему заключенію: замыкающая сторона треугольника (АD), построеннаго по двумъ даннымъ силамъ, представляетъ равнодѣйствующую послѣднихъ.
Для большей ясности чертежа, построеніе треугольника силъ произведемъ въ сторонѣ; для этого (черт 3); черезъ произвольную точку 0 проводимъ прямую 01, параллельную и равную силѣ Р_1, черезъ конецъ послҍдней — линію 12, параллельную и равную
Р_2; соединивъ начальную (0) и конечную (2) точки прямою 02, получимъ замыкающую, равную по величинѣ искомой равнодѣйствующей; далѣе — обозначемъ сторону дѣйствія силъ Р_1; Р_2, направленіе В принимаемъ въ противуположную сторону и, наконецъ, черезъ точку пересѣченія силъ (А) проводимъ линію равную и параллельную 02, причемъ опредѣлится положеніе равнодѣйствующей К.
Вопросъ нѣсколько усложняется, если точка пересѣченія данныхъ силъ находится внѣ предѣловъ чертежа; въ этомъ случаѣ величина и сторона дѣйствія равнодѣйствующей опредѣлятся по предыдущему (черт. 4), но положеніе ея, пока, остается неизвѣстнымъ, такъ какъ точка пересѣченія составляющихъ, лежа
щая на направленіи искомой равнодѣйствующей, не можетъ быть назначена на чертежѣ.
Подобный же случай встрѣчается при сложеніи силъ параллельныхъ (черт. 5); здѣсь, для полученія величины и стороны дѣй
ствія равнодѣйствующей, строимъ по предыдущему, треугольникъ силъ, т. е. черезъ произвольную точку (0) проводимъ линію (01), равную и параллельную Р_1, черезъ конецъ ея (1) — прямую (12) равную и параллельную Р_2; очевидно, что въ этомъ случаѣ линія 012, вслѣдствіе параллелизма силъ, будетъ прямою, совпадающею съ замыкающею 02, т. е съ линіею, соединяющею начальную (0)
и конечную (2) точки; слѣдовательно, при сложеніи параллельныхъ силъ, треугольникъ ихъ превращается въ прямую, и равнодѣй
ствующая равна алгебраической суммѣ составляющихъ; что-же касается до положенія первой, то оно, пока, остается неизвѣстнымъ.
Ниже будетъ указанъ общій пріемъ, служащій для опредѣленія точки на направленіи равнодѣйствующей, но предварительно мы должны разсмотрѣть нѣсколько задачъ, относящихся до разложенія силъ.
Если дана нѣкоторая сила Р, дѣйствующая на твердое тѣло, и требуется разложить ее по двумъ, совершенно произвольнымъ, направленіямъ, то подобный вопросъ можетъ имѣть безчисленное множество рѣшеній; такъ (черт. 6), проведя через ь произвольную точку (А), взятую на направленіи силы Р, прямыя АВ, АС и, па
раллельно имъ, черезъ конецъ той-же силы, DB, СЕ, получимъ па
раллелограмъ АBСD, стороны котораго представляютъ величину искомыхъ составляющихъ; очевидно, что, съ измѣненіемъ напра
вленія сторонъ параллелограма, перемѣнится также (черт. 7) ихъ длина, т. е. величина составляющихъ.
Разсматривая послѣдніе чертежи, мы видимъ, что здѣсь тоже, какъ и при сложеніи силъ, можно ограничиться построеніемъ одного изъ треугольниковъ АВD или АВС, причемъ двѣ вершины (А, D) опредѣляются величиною силы Р, третья же (С или B) остается
произвольною; далѣе, въ виду большей ясности чертежа, построеніе это можетъ быть произведено въ сторонѣ, для чего: проводимъ (черт. 8) линію (01), параллельную и равную данной силѣ Р, и, выбравъ произвольно, точку С, соединяемъ ее съ 01; тогда полу
чается искомый треугольникъ, въ которомъ стороны Ос, 1с, взятыя по направленію противоположному 01, представятъ величину со
ставляющихъ Р_2 Р_1 ; наконецъ, — черезъ произвольную точку А, взятую на направленіи Р, проводимъ, параллельно сторонамъ
(Ос, 1с), премия AB, АЕ и откладываемъ на нихъ величину р_1 и р_22; при иномъ положеніи точки с — ветчина и направленіе составляющихъ будутъ также иныя.
Въ томъ случаѣ, когда направлен и величина одной изъ составляющихъ будутъ дана, вопросъ имѣетъ только одно опредѣ
ленное рѣшеніе; такъ, положимъ, что (черт. 9) р_1 извѣстна; тогда, очевидно, соединяя точку B съ D и проводя DC, АЕ, параллельно АB, BD, получимъ параллелограммъ, а, слѣдовательно, и искомую составляющую р_2. Подобнымъ же образомъ рѣшая этотъ во
просъ посредствомъ вспомогательнаго треугольника силъ (черт. 10), т. е. проводя 01 и 1С параллельно даннымъ направленіямъ и со
единяя 0 съ С, найдемъ искомую величину ОС, причемъ параллельно послѣдней можетъ быть проведена составляющая АЕ.
Познакомившись съ этими случаями, можемъ перейти къ рѣшенію предложеннаго выше вопроса, а именно — къ опредѣленію точки, лежащей на направленіи равнодѣйствующей двухъ силъ; при этомъ предварительно находимъ величину и сторону дѣйствія первой, для чего строимъ (черт. 11) треугольникъ 012; далѣе, разложимъ силу Р_1 на двѣ совершенно произвольныя составляю
щія, причемъ будемъ придерживаться способа, указаннаго на черт. 8, т. е. выберемъ произвольно (черт. 11) точку С, соеди
нимъ ее съ концами (0,1) силы Р_1 и параллельно прямымъ 0С, 1С проведемъ черезъ произвольную толку А — лежащую па на
правленіи AD — составляющія АB и АЕ ; затѣмъ разложимъ Р_2 на двѣ силы, такъ, чтобы одна изъ нихъ была равна и прямо-противоположна АЛ, т. е. 1С; здѣсь опять встрѣчается случай, разсмотрѣнный на черт. 10; сообразно съ этимъ — для полученія дру
гой составляющей силы Р_2 — достаточно соединить точку С съ 2; далѣе, по вышесказанному, одна изъ составляющихъ должна быть
прямо противуположна BА; поэтому положеніе ея опредѣлится, продолживъ послѣднюю (AB), и выразится прямою А D (черт. 12);
для второй составляющей — проводимъ черезъ точку А линію А E , параллельную С_2.
Разсматривая найденныя силы, мы видимъ, что, въ данномъ случаѣ Р_1, Р_2 могутъ быть замѣнены оставляющими AB. АЕ , А В А Е ; но, такъ какъ AB и А В , будучи равны и прямо
противуположны, взаимно уравновѣшиваются, то остаются только АЕ и АЕ , дѣйствіе которыхъ, слѣдовательно, будетъ то-же, что и силъ Р_1, Р_2; далѣе, какъ извѣстно, равнодѣйствующая двухъ силъ проходитъ черезъ точку ихъ пересѣченія, которая для АЕ.
и А Е , будетъ въ х; кромѣ того, принимая во вниманіе, что дѣйствіе Р_1, Р_2 съ одной стороны — равно таковому АЕ и АЕ — съ другой, или иначе говоря, какъ тѣ, гакъ и другія имѣютъ одну и ту-же равнодѣйствующую, мы видитъ, что точка х будетъ искомою, т. е. она лежитъ на направлена равнодѣйствующей двухъ данныхъ силъ Р_1, Р_2.
Указанный способъ опредѣленія точки, лежащей на направленіи равнодѣйствующей двухъ силъ, знакомить насъ съ основною теоремою графической статики, состоящей въ слѣдующемъ.
Разсматривая направленіе четырехъ составляющихъ (черт. 12), легко видѣть, что дѣйствіе ихъ не измѣнится, если твердое тѣло
замѣнить связью аАА а , состоящею изъ гибкой, но нерастяжимой нити, расположенной по направленію силъ (черт. 13) ВА, р_1, р_2 А В ; и дѣйствительно: единственное условіе, которому дожно удовлетворять твердое тѣло, состоитъ въ его неизмѣняемости; по назван
ная связь, при расположеніи ея по направленію силъ, будучи подвержена вытягиванію, также неизмѣняема, потому что, согла
сно предположенію, обладаетъ свойствомъ нерастяжимости; слѣ
довательно, въ томъ и другомъ случаѣ, условія, при которомъ
дѣйствуютъ силы, остаются одни и тѣ-же, и твердое тѣло можетъ быть замѣнено фигурою аАА а , носящею названіе веревочнаго многоугольника; далѣе, замѣчая, что выборъ точки А (черт. 12) произволенъ, и принимая во вниманіе способъ проведенія соотвѣт
ствующихъ линій, мы видимъ, что построеніе веревочнаго многогоугольника можетъ быть произведено слѣдующимъ образомъ: че
резъ произвольную точку а (черт. 14) слѣдуетъ провести прямую (аА), параллельно первому лучу (0С), до пересѣченія ея съ на
правленіемъ силы P_1 въ точкѣ А; черезъ послѣднюю вычерчивается сторона (АА ) параллельно второму лучу (1C) до пересѣченія ея
съ Р_2 и, наконецъ сторона A a параллельная 2С; продолжая (черт. 15), крайнія стороны веревочнаго многоугольника (аА, А а ) до взаимнаго ихъ пересѣченія, найдемъ точку х, лежащую на направленіи равнодѣйствующей силъ Р_1, P_2.
Очевидно, что проведеніе составляющихъ AB, А В (черт. 13) совершенно лишнее; здѣсь же замѣтимъ, что, въ виду произвольнаго выбора точки а, удобнѣе проводить сторону аА такъ, чтобы