веревочный многоугольникъ былъ расположенъ внѣ даннаго тѣла (черт. 16); при этомъ чертежъ будетъ болѣе ясенъ.
И такъ, опредѣленіе равнодѣйствующей двухъ данныхъ силъ сводится къ построенію многоугольника силъ и веревочнаго многоугольника, для чего: черезъ произвольную точку 0 (черт. 17) проводимъ линію (01), параллельную и равную первой силѣ
(P_1)\ черезъ конецъ ея (1)—прямую (12), параллельную и равную второй силѣ (Р_2); замыкающая линія (02) даетъ намъ величину и направленіе равнодѣйствующей, сторона дѣйствія ко
торой назначается по направленію протшуположному таковой— силъ P_1, Р_2,- далѣе выбираемъ произвольную точку С, называемую полюсомъ, соединяемъ ее, съ точками 0, 1, 2, прямыми С0, С1, С2 [*)]; затѣмъ черезъ произвольную точку (а) проводимъ пер
вую сторону веревочнаго многоугольника параллельно лучу ОС, до встрѣчи съ направленіемъ Р_1, подобнымъ же образомъ проводится вторая сторона черезъ А параллельно 1C и т. д.; нако
нецъ, — продолжая крайнія стороны веревочнаго многоугольника, т. е. сторону (аА), предшествующую первой силѣ и послѣдую
щую (А а ) за второй, находимъ—точку X, лежащую на направ
леніи равнодѣйствующей (R), которую проводимъ параллельно 02. Здѣсь же обратимъ вниманіе на то, что каждый изъ лучей обоз
начаетъ силу, дѣйствующую, на соотвѣтствующую ему, сторону веревочнаго многоугольника; заключеніе это прямо слѣдуетъ изъ способа построенія послѣдняго и становится совершенно яснымъ,
если припомнить, что (черт. 12, 13) AB, А В , р_1, р_2 равныя лучамъ, дѣйствуютъ по направленію соотвѣтствующихъ сторонъ связи аАА а z; кромѣ того, замѣтимъ еще, что выборъ полюса С, очевидно, совершенно произволенъ; точка эта первоначально (черт. 10, 11) служила исключительно для разложенія силы Р, на двѣ произвольныя составляющія и, слѣдовательно, положеніе ея не ограничивается никакими условіями.
Изложенныя построенія могутъ быть также примѣняемы и въ тѣхъ случаяхъ, когда тѣло будетъ подвержено дѣйствію произ
вольнаго числа силъ, разсматривая сначала двѣ изъ нихъ, затѣмъ равнодѣйствующую послѣднихъ и третью силу и т. д.; такъ по
ложимъ, что на тѣло дѣйствуютъ силы Р_1, Р_2, Р_3... (черт. 18). Для полученія равнодѣйствующей двухъ первыхъ силъ (Р_4, Р_2) стро
имъ, по предыдущему, многоугольникъ силъ и веревочный много
угольникъ, т. е. черезъ произвольную точку 0 проводимъ линію (01) параллельную и равную Р_4; черезъ конецъ ея (1)—прямую (12) параллельную и равную Р_2; соединяемъ начальную (0) и ко
нечную (2) точки многоугольника силъ линіею 02; послѣдняя опредѣлитъ величину, направленіе и сторону дѣйствія равнодѣйствующей (R_1); далѣе выбираемъ произвольно полюсъ (С), прово
димъ лучи О С, 1C, 2С и, параллельно имъ—стороны веровочнаго многоугольника аА, ВЪ, которыя продолжаемъ до взаимнаго ихъ пересѣченія въ точкѣ прямая, проведенная черезъ послѣднюю параллельно 02, обозначитъ положеніе равнодѣйствующей; но дѣйствіе Р_1, Р_2 съ одной стороны и R_1—съ другой, тожественно; поэтому первыя могутъ быть замѣнены послѣднею, причемъ данное тѣло будетъ подвержено дѣйствію силъ: R_1, Р_3, Р_4.
Примѣняя тотъ же пріемъ къ силамъ R_1 и Р_3, мы найдемъ подобнымъ же образомъ ихъ равнодѣйствующую; для этого слѣ
дуетъ прежде всего построить соотвѣтствующій треугольникъ силъ, т. ѳ. провести линію равную и параллельную R_1, черезъ конецъ ея—равную и параллельную Р_3 и соединить начальную точку съ конечною; но первая сторона треугольника имѣется на чертежѣ—она была проведена при предыдущемъ построеніи, гдѣ обозначена цифрами 02 —поэтому остается черезъ конецъ ея (2) провести (черт. 19) прямую 23 и соединить точку 0 съ 3; далѣе полюсъ С и первые два луча (ОС, 2С), соотвѣтствующіе силѣ R_1, также были вычерчены (черт. 18); слѣдовательно, достаточно добавить еще (черт. 19) лучъ 3С; подобнымъ же образомъ пер
выя двѣ стороны веревочнаго многоугольника (aX_1 и Х_1b) также имѣются на чертежѣ (18); поэтому, продолживъ Х_1 В до пере
сѣченія съ Р_3 и проведя Сс, параллельно лучу 3(7, получимъ связь аХ_1 Сс, соотвѣтствующую двумъ разсматриваемымъ силамъ; продолжая крайнія стороны построеннаго подобнымъ образомъ
веревочнаго многоугольника, найдемъ точку (Х_2), лежащую на направленіи равнодѣйствующей (R_2) для силъ R_1 и Р_3, но такъ
какъ R_1 представляетъ равнодѣйствующую изъ Р_1 и Р_2, то R_2 будетъ также равнодѣйствующею для Р_1 Р_2, Р_3, и мы можемъ разсматривать твердое тѣло, какъ будто подверженное дѣйствію силъ R_2 и Р_4; опредѣленіе равнодѣйствующей послѣднихъ произ
водимъ по вышеуказанному, причемъ, къ предыдущимъ построе
ніямъ, присоединятся еще (черт. 20): прямыя 34, 04, C4 въ многоугольникѣ силъ и Dd—въ веревочномъ многоугольникѣ
тогда получимъ связь аХ_2 Dd, па которую дѣвствуютъ силы В„ и Р_4; окончательно продолжаемъ крайнія стороны (аХ_2 и Dd)
названной связи и находимъ точку Х_3 для R_3, которая будетъ равнодѣйствующею силъ R_2, Р_4 или, что все равно, Р_1, Р_2, Р_3, Р_4.
Разсматривая произведенныя построенія, мы видимъ, что найденная равнодѣйствующая (R_3) есть замыкающая сторона много
угольника 01234, построеннаго на данныхъ силахъ; далѣе точка Х_3 лежитъ на продолженіи крайнихъ сторонъ связи aABCDd, вычерченной параллельно лучамъ и по тѣмъ же правиламъ, ко
торыя были выведены выше при разсмотрѣніи дѣйствія двухъ силъ; наконецъ, замѣчая, что въ проведеніи промежуточныхъ прямыхъ (R_1, R_2, x_1, В, х_2 С) нѣтъ необходимости и что тѣ-жe по
строенія могутъ быть примѣнены къ произвольному числу силъ, приходимъ къ слѣдующему заключенію: способъ опредѣленія равнодѣйствующей не зависитъ отъ числа и направленія силъ и сводится къ построенію многоугольника силъ и веревочнаго многоугольника.
Для примѣра найдемъ, помощью указаннаго пріема, равнодѣйствующую нѣсколькихъ параллельныхъ силъ (черт. 21). Предварительно строимъ для нихъ многоугольникъ, который въ данномъ случаѣ преобразовывается въ прямую [*)]; послѣднюю прово
димъ черезъ произвольную точку 0, откладывая, отъ нея, послѣдовательно, силы P_1 Р_2, Р_3, Р_4; при этомъ замыкающая сторона, т. е. прямая (04), соединяющая начальную точку (0) многоуголь
ника съ конечною (4), совпадетъ съ нимъ и будетъ равна суммѣ всѣхъ силъ. Затѣмъ назначаемъ произвольно полюсъ (С), проводимъ лучи и параллельно имъ стороны веревочнаго много
угольника aABCDd; наконецъ, продолжаемъ аА и Dd до взаимнаго ихъ пересѣченія, при чемъ находимъ точку X, лежащую на направленіи равнодѣйствующей. Очевидно, что указанныя построенія могутъ служить для опредѣленія равнодѣйствующей не только всѣхъ данныхъ силъ, но и нѣсколькихъ изъ нихъ, рас
положенныхъ послѣдовательно; такъ напр., если бы для случая, разсмотрѣннаго на черт. 20, еще требовалось найти равнодѣй
ствующую силъ Р_2, Р_3, то (черт. 22), соединивъ соотвѣтствующія вершины (1,3) моногоугольника, получимъ ея величину и направ
леніе; далѣе, продолживъ сторону веревочнаго многоугольника,
предшествующую силѣ Р_2 и послѣдующую за Р_3, до взаимнаго ихъ пересѣченія, найдемъ искомую точку X, лежащую на направленіи равнодѣйствующей.
Въ заключеніе настоящей лекціи разсмотримъ еще форму, принимаемую многоугольникомъ силъ и веревочнымъ многоуголь
никомъ, въ томъ случаѣ, когда тѣло подвержено двѣйстію силъ параллельныхъ, направленныхъ въ противуположныя стороны; такъ,
если (черт. 23) даны силы Р_1, Р_2 Р_3, Р_4, то, строя для нихъ многоугольникъ, мы должны на прямой, проведенной параллельно направленію силъ, отложить величину послѣднихъ; при этомъ P_1 и Р_2, по предыдущему, помѣстятся на отрѣзкѣ 012, слѣдую
щая затѣмъ сила (Р_3) должна быть отложена отъ конца Р_2, т. е. отъ точки 2 сообразно съ направленіемъ ея, т. е. вверхъ до
точки 3; наконецъ, сила Р_4 также откладывается вверхъ до точки 4; начало построеннаго подобнымъ образомъ многоугольника силъ (01234) будетъ въ 0, конецъ въ 4; поэтому замыкающая, т. е.
прямая, соедтиняющая начальную точку съ конечною, равна от рѣзку 04, коо рый, слѣдовательно, представить величину и на
правленіе равнодѣйствующей; изъ чертежа видимъ, что послѣдняя равна, собственно, разности разсматриваемыхъ силъ и дѣйствуетъ въ сторону большихъ изъ нихъ.
Примѣчаніе. Впрочемъ, способъ опредѣленія величины равнодѣйствующей параллельныхъ силъ, дѣйствующихъ въ одну или разныя стороны, можетъ быть формулированъ вообще слѣдую
щимъ образомъ: въ томъ и другомъ случаѣ — искомая равнодѣй
ствующая выражается алгебраическою суммою составляющихъ, взятыхъ съ соотвѣтствующими злаками.
Что же касается до веревочнаго многоугольника — то онъ строится по предыдущему, причемъ стороны его будутъ параллельны послѣдовательно лучамъ 01234; далѣе, такъ какъ построенная подобнымъ образомъ связь имѣетъ въ точкѣ С пере
гибъ, то крайнія стороны ея пересѣкутся не между, а по одну сторону данныхъ силъ; но, въ виду того, что лучъ 4 и, слѣдовательно, сторона Dd составляетъ съ вертикалью уголъ больше чѣмъ лучъ 1 и аA, точка х будетъ расположена со стороны большихъ силъ.
[*)] См. также черт. 5.
[*)]Прямыя эти носятъ названіе лучей.
И такъ, опредѣленіе равнодѣйствующей двухъ данныхъ силъ сводится къ построенію многоугольника силъ и веревочнаго многоугольника, для чего: черезъ произвольную точку 0 (черт. 17) проводимъ линію (01), параллельную и равную первой силѣ
(P_1)\ черезъ конецъ ея (1)—прямую (12), параллельную и равную второй силѣ (Р_2); замыкающая линія (02) даетъ намъ величину и направленіе равнодѣйствующей, сторона дѣйствія ко
торой назначается по направленію протшуположному таковой— силъ P_1, Р_2,- далѣе выбираемъ произвольную точку С, называемую полюсомъ, соединяемъ ее, съ точками 0, 1, 2, прямыми С0, С1, С2 [*)]; затѣмъ черезъ произвольную точку (а) проводимъ пер
вую сторону веревочнаго многоугольника параллельно лучу ОС, до встрѣчи съ направленіемъ Р_1, подобнымъ же образомъ проводится вторая сторона черезъ А параллельно 1C и т. д.; нако
нецъ, — продолжая крайнія стороны веревочнаго многоугольника, т. е. сторону (аА), предшествующую первой силѣ и послѣдую
щую (А а ) за второй, находимъ—точку X, лежащую на направ
леніи равнодѣйствующей (R), которую проводимъ параллельно 02. Здѣсь же обратимъ вниманіе на то, что каждый изъ лучей обоз
начаетъ силу, дѣйствующую, на соотвѣтствующую ему, сторону веревочнаго многоугольника; заключеніе это прямо слѣдуетъ изъ способа построенія послѣдняго и становится совершенно яснымъ,
если припомнить, что (черт. 12, 13) AB, А В , р_1, р_2 равныя лучамъ, дѣйствуютъ по направленію соотвѣтствующихъ сторонъ связи аАА а z; кромѣ того, замѣтимъ еще, что выборъ полюса С, очевидно, совершенно произволенъ; точка эта первоначально (черт. 10, 11) служила исключительно для разложенія силы Р, на двѣ произвольныя составляющія и, слѣдовательно, положеніе ея не ограничивается никакими условіями.
Изложенныя построенія могутъ быть также примѣняемы и въ тѣхъ случаяхъ, когда тѣло будетъ подвержено дѣйствію произ
вольнаго числа силъ, разсматривая сначала двѣ изъ нихъ, затѣмъ равнодѣйствующую послѣднихъ и третью силу и т. д.; такъ по
ложимъ, что на тѣло дѣйствуютъ силы Р_1, Р_2, Р_3... (черт. 18). Для полученія равнодѣйствующей двухъ первыхъ силъ (Р_4, Р_2) стро
имъ, по предыдущему, многоугольникъ силъ и веревочный много
угольникъ, т. е. черезъ произвольную точку 0 проводимъ линію (01) параллельную и равную Р_4; черезъ конецъ ея (1)—прямую (12) параллельную и равную Р_2; соединяемъ начальную (0) и ко
нечную (2) точки многоугольника силъ линіею 02; послѣдняя опредѣлитъ величину, направленіе и сторону дѣйствія равнодѣйствующей (R_1); далѣе выбираемъ произвольно полюсъ (С), прово
димъ лучи О С, 1C, 2С и, параллельно имъ—стороны веровочнаго многоугольника аА, ВЪ, которыя продолжаемъ до взаимнаго ихъ пересѣченія въ точкѣ прямая, проведенная черезъ послѣднюю параллельно 02, обозначитъ положеніе равнодѣйствующей; но дѣйствіе Р_1, Р_2 съ одной стороны и R_1—съ другой, тожественно; поэтому первыя могутъ быть замѣнены послѣднею, причемъ данное тѣло будетъ подвержено дѣйствію силъ: R_1, Р_3, Р_4.
Примѣняя тотъ же пріемъ къ силамъ R_1 и Р_3, мы найдемъ подобнымъ же образомъ ихъ равнодѣйствующую; для этого слѣ
дуетъ прежде всего построить соотвѣтствующій треугольникъ силъ, т. ѳ. провести линію равную и параллельную R_1, черезъ конецъ ея—равную и параллельную Р_3 и соединить начальную точку съ конечною; но первая сторона треугольника имѣется на чертежѣ—она была проведена при предыдущемъ построеніи, гдѣ обозначена цифрами 02 —поэтому остается черезъ конецъ ея (2) провести (черт. 19) прямую 23 и соединить точку 0 съ 3; далѣе полюсъ С и первые два луча (ОС, 2С), соотвѣтствующіе силѣ R_1, также были вычерчены (черт. 18); слѣдовательно, достаточно добавить еще (черт. 19) лучъ 3С; подобнымъ же образомъ пер
выя двѣ стороны веревочнаго многоугольника (aX_1 и Х_1b) также имѣются на чертежѣ (18); поэтому, продолживъ Х_1 В до пере
сѣченія съ Р_3 и проведя Сс, параллельно лучу 3(7, получимъ связь аХ_1 Сс, соотвѣтствующую двумъ разсматриваемымъ силамъ; продолжая крайнія стороны построеннаго подобнымъ образомъ
веревочнаго многоугольника, найдемъ точку (Х_2), лежащую на направленіи равнодѣйствующей (R_2) для силъ R_1 и Р_3, но такъ
какъ R_1 представляетъ равнодѣйствующую изъ Р_1 и Р_2, то R_2 будетъ также равнодѣйствующею для Р_1 Р_2, Р_3, и мы можемъ разсматривать твердое тѣло, какъ будто подверженное дѣйствію силъ R_2 и Р_4; опредѣленіе равнодѣйствующей послѣднихъ произ
водимъ по вышеуказанному, причемъ, къ предыдущимъ построе
ніямъ, присоединятся еще (черт. 20): прямыя 34, 04, C4 въ многоугольникѣ силъ и Dd—въ веревочномъ многоугольникѣ
тогда получимъ связь аХ_2 Dd, па которую дѣвствуютъ силы В„ и Р_4; окончательно продолжаемъ крайнія стороны (аХ_2 и Dd)
названной связи и находимъ точку Х_3 для R_3, которая будетъ равнодѣйствующею силъ R_2, Р_4 или, что все равно, Р_1, Р_2, Р_3, Р_4.
Разсматривая произведенныя построенія, мы видимъ, что найденная равнодѣйствующая (R_3) есть замыкающая сторона много
угольника 01234, построеннаго на данныхъ силахъ; далѣе точка Х_3 лежитъ на продолженіи крайнихъ сторонъ связи aABCDd, вычерченной параллельно лучамъ и по тѣмъ же правиламъ, ко
торыя были выведены выше при разсмотрѣніи дѣйствія двухъ силъ; наконецъ, замѣчая, что въ проведеніи промежуточныхъ прямыхъ (R_1, R_2, x_1, В, х_2 С) нѣтъ необходимости и что тѣ-жe по
строенія могутъ быть примѣнены къ произвольному числу силъ, приходимъ къ слѣдующему заключенію: способъ опредѣленія равнодѣйствующей не зависитъ отъ числа и направленія силъ и сводится къ построенію многоугольника силъ и веревочнаго многоугольника.
Для примѣра найдемъ, помощью указаннаго пріема, равнодѣйствующую нѣсколькихъ параллельныхъ силъ (черт. 21). Предварительно строимъ для нихъ многоугольникъ, который въ данномъ случаѣ преобразовывается въ прямую [*)]; послѣднюю прово
димъ черезъ произвольную точку 0, откладывая, отъ нея, послѣдовательно, силы P_1 Р_2, Р_3, Р_4; при этомъ замыкающая сторона, т. е. прямая (04), соединяющая начальную точку (0) многоуголь
ника съ конечною (4), совпадетъ съ нимъ и будетъ равна суммѣ всѣхъ силъ. Затѣмъ назначаемъ произвольно полюсъ (С), проводимъ лучи и параллельно имъ стороны веревочнаго много
угольника aABCDd; наконецъ, продолжаемъ аА и Dd до взаимнаго ихъ пересѣченія, при чемъ находимъ точку X, лежащую на направленіи равнодѣйствующей. Очевидно, что указанныя построенія могутъ служить для опредѣленія равнодѣйствующей не только всѣхъ данныхъ силъ, но и нѣсколькихъ изъ нихъ, рас
положенныхъ послѣдовательно; такъ напр., если бы для случая, разсмотрѣннаго на черт. 20, еще требовалось найти равнодѣй
ствующую силъ Р_2, Р_3, то (черт. 22), соединивъ соотвѣтствующія вершины (1,3) моногоугольника, получимъ ея величину и направ
леніе; далѣе, продолживъ сторону веревочнаго многоугольника,
предшествующую силѣ Р_2 и послѣдующую за Р_3, до взаимнаго ихъ пересѣченія, найдемъ искомую точку X, лежащую на направленіи равнодѣйствующей.
Въ заключеніе настоящей лекціи разсмотримъ еще форму, принимаемую многоугольникомъ силъ и веревочнымъ многоуголь
никомъ, въ томъ случаѣ, когда тѣло подвержено двѣйстію силъ параллельныхъ, направленныхъ въ противуположныя стороны; такъ,
если (черт. 23) даны силы Р_1, Р_2 Р_3, Р_4, то, строя для нихъ многоугольникъ, мы должны на прямой, проведенной параллельно направленію силъ, отложить величину послѣднихъ; при этомъ P_1 и Р_2, по предыдущему, помѣстятся на отрѣзкѣ 012, слѣдую
щая затѣмъ сила (Р_3) должна быть отложена отъ конца Р_2, т. е. отъ точки 2 сообразно съ направленіемъ ея, т. е. вверхъ до
точки 3; наконецъ, сила Р_4 также откладывается вверхъ до точки 4; начало построеннаго подобнымъ образомъ многоугольника силъ (01234) будетъ въ 0, конецъ въ 4; поэтому замыкающая, т. е.
прямая, соедтиняющая начальную точку съ конечною, равна от рѣзку 04, коо рый, слѣдовательно, представить величину и на
правленіе равнодѣйствующей; изъ чертежа видимъ, что послѣдняя равна, собственно, разности разсматриваемыхъ силъ и дѣйствуетъ въ сторону большихъ изъ нихъ.
Примѣчаніе. Впрочемъ, способъ опредѣленія величины равнодѣйствующей параллельныхъ силъ, дѣйствующихъ въ одну или разныя стороны, можетъ быть формулированъ вообще слѣдую
щимъ образомъ: въ томъ и другомъ случаѣ — искомая равнодѣй
ствующая выражается алгебраическою суммою составляющихъ, взятыхъ съ соотвѣтствующими злаками.
Что же касается до веревочнаго многоугольника — то онъ строится по предыдущему, причемъ стороны его будутъ параллельны послѣдовательно лучамъ 01234; далѣе, такъ какъ построенная подобнымъ образомъ связь имѣетъ въ точкѣ С пере
гибъ, то крайнія стороны ея пересѣкутся не между, а по одну сторону данныхъ силъ; но, въ виду того, что лучъ 4 и, слѣдовательно, сторона Dd составляетъ съ вертикалью уголъ больше чѣмъ лучъ 1 и аA, точка х будетъ расположена со стороны большихъ силъ.
[*)] См. также черт. 5.
[*)]Прямыя эти носятъ названіе лучей.