отрѣзку ре, и отрѣзокъ fd, равный отрѣзку аа, получаетъ линіи рk и ad параллельныя между собою, а потому, соединивъ топки l и d прямою ld, получаетъ перспективу dl линіи da, а топку а′ получаетъ такъ же, какъ и въ 10 методѣ.
Тринадцатый методъ — это комбинація предыдущаго съ 8-мъ методомъ, т. е. топку а (фиг. 18) замѣняетъ точкою b, у которой и опредѣляетъ перспективу, какъ въ 12 методѣ, а по перспективѣ b′ опредѣляетъ перспективу а , какъ въ 8-мъ методѣ.
Въ четырнадцатомъ методѣ точка b берется на линіи ор, а на исполнительномъ чертежѣ даже и этой точки не откладываетъ, а прямо откладываетъ отрѣзокъ od, равный отрѣзку af, и отрѣзокъ оl, равный отрѣзку ро, и т. д.
Пятнадцатый методъ, самый старинный: черезъ данную точку проводитъ двѣ линіи, изъ которыхъ одна перпендикулярная, а другая подъ угломъ въ 45° градусовъ, слѣдов. точками схода будутъ точка о и точка разстояній d, точно такъ-же и шестнадцатый методъ основанъ на проведеніи линій подъ углами въ 45° и ихъ точкахъ схода (точекъ разстояній).
Въ семнадцатомъ методѣ проводитъ линію ар (фиг. 19) и ея проектирующую плоскость (pq, r ); точку а переноситъ въ точку b на линію ор, а плоскость (ро_1,о) совмѣщаетъ на предметную пло
скость. Тогда точка зрѣнія приметъ положеніе точки υ, а линія υb будетъ совмѣщенный лучъ зрѣнія, слѣдов. отрѣзокъ о_1g будетъ ордината точки b перспективы точки b, а потому, проведя ли
нію b а′ параллельно линіи SS_1 и опредѣливъ ея пересѣченіе а′ съ линіею ра, получаетъ перспективу данной точки а.
Гвидо Убальди замѣчаемъ, что совмѣщеніе плоскости (ро_1 о) можетъ быть сдѣлано и на картинную плоскость, какъ это дѣлали другіе писатели.
Въ восемнадцатомъ методѣ онъ совмѣщеніе плоскости (ро_1 о) дѣлаетъ въ другую сторону, отчего и комбинація прочерченныхъ линій на плоскости чертежа измѣняется. Методы 19, 20 и 21 со
вершенно одинаковы по существу рѣшеній. Такъ, въ двадцатомъ методѣ Гвидо Убальди проводитъ линію ра (фиг. 20), а проекти
рующую плоскость совмѣщаетъ съ предметною плоскостью, тогда точка зрѣнія приметъ положеніе точки υ, а лучъ зрѣнія, прове
денный черезъ точку зрѣнія къ данной точкѣ а, — положеніе υa. Проведя линію gА, получаетъ точку А, которая и будетъ пер
спектива точки а, но полученная въ совмѣщенномъ положеніи; отложивъ отрѣзокъ gа , равный отрѣзку gА, получаетъ требуемую перспективу а точки a.
Въ девятнадцатомъ методѣ величину рυ онъ откладываетъ надъ точкою р по линіи ро, которую соединивъ съ точкою а, опредѣляетъ точку а . Здѣсь онъ образуетъ треугольники подобные треугольникамъ арυ и аg А.
Въ двадцать же первомъ методѣ линію рυ онъ проводитъ параллельно линіи SS, и т. д.
На основаніи такого построенія, Гвидо Убальди выводитъ заключеніе, что когда данный отрѣзокъ прямой линіи, параллельный картинной плоскости, будетъ раздѣленъ на нѣсколько частей, то его перспектива будетъ прямолинейный отрѣзокъ параллельной
линіи SS_1, и перспективы точекъ дѣленія перваго раздѣлятъ его перспективу на части соотвѣтственно пропорціональныя дѣленіямъ перваго. Какъ слѣдствіе этого замѣчанія, Гвидо Убальди предла
гаетъ двадцатъ-второй методъ построенія перспективы. Наприм.: чтобы построить перспективу точки a (фиг. 21), строитъ квадратъ тпkl и проводитъ линію mad; потомъ строитъ перспективу т п к l′ (фиг. 22) этого квадрата, откладываетъ отрѣзокъ l′d пропорціональный отрѣзку ld, т. е. чтобы lk/ld = l к/l d проводитъ линіи m′d , и с′о, которыя своимъ пересѣченіемъ опредѣлятъ перспективу а′ точки а.
Его двадцать третій методъ тоже заслуживаетъ нашего вниманія. Для построенія перспективы точки а онъ беретъ произ
вольно точки т и п (фиг. 23) и проводитъ линіи п a i и т а j; строитъ перспективы m , п′, і′ и j (фиг. 24) точекъ m, п ,і и j и проводитъ линіи n′і′ и m′j, которыя своимъ пересѣченіемъ опредѣлятъ перспективу а′ данной точки а.
Далѣе авторъ дѣлаетъ замѣчаніе, что точка а можетъ служить для опредѣленія перспективы другой точки, подобно тому какъ служили точки m и п для опредѣленія этой перспективы а′ точки а, т. е. когда построены перспективы двухъ точекъ какой-нибудь плоской фигуры, лежащей на предметной плоскости, то нѣтъ надобности ни въ точкѣ υ, ни въ точкѣ р для построенія перспективы другой точки этой-же плоской фигуры.
Приводя нѣсколько методовъ построенія перспективъ данныхъ точекъ, Гвидо Убальди не говоритъ, который изъ нихъ можетъ считаться самымъ лучшимъ, а подобный вопросъ, разумѣется, мо
жетъ явиться у каждаго. Дѣйствительно, трудно дать на такой вопросъ опредѣленный отвѣтъ, когда теоретическое (геометриче
ское) рѣшеніе переходитъ на практическую почву, т. е. къ исполненію рѣшенія графическими линіями на плоскости чертежа.
На исполнительномъ чертежѣ всѣ геометрическія линія замѣняются
графическими, т. е. имѣющими нѣкоторую ширину, а потому этито графическія линіи и имѣютъ вліяніе въ каждомъ данномъ случаѣ на выборъ того или другого теоретическаго (геометриче
скаго) рѣшенія. Такъ, напримѣръ, направленіе графической линіи трудно опредѣлить двумя точками, близко лежащими одна отъ другой, тогда какъ на это разстояніе при геометрическихъ точкахъ и линіяхъ не обращается никакого вниманія; двѣ геометри
ческія линіи своимъ пересѣченіемъ опредѣляютъ одну только точку, а двѣ графическія линіи своимъ пересѣченіемъ образуютъ нѣкоторую удлинненую по направленію пересѣкающихъ линій площадку, и удлиненніе этой площадки увеличивается по мѣрѣ того, какъ уголъ встрѣчи сказанныхъ линій начинаетъ отъ 90° дѣ
латься все менѣе и менѣе, а потому, для болѣе точнаго опредѣнія точки пересѣченіемъ двухъ графическихъ линій, надо удовлетворять условію, чтобы уголъ ихъ встрѣчи заключался между 60°
и 90°, и т. д. Кромѣ того, на выборъ того или другого пріема рѣшенія при исполненіи его графическими линіями, имѣетъ влія
ніе предѣлъ или рамки исполнительнаго чертежа, а также и остающееся свободное мѣсто отъ предыдущихъ или послѣдую
щихъ построеній, которыя тоже не слѣдуетъ упускать изъ виду; кромѣ того, изъ числа всѣхъ рѣшеній, удовлетворяющихъ предыдущимъ требованіямъ, слѣдуетъ выбирать то, которое при встрѣ
тившемся частномъ заданіи данныхъ потребуетъ наименьшее число прочерченныхъ графическихъ линій на плоскости чертежа. Относительно же теоретическаго изложенія пріемовъ рѣшеній, тотъ мо
жетъ считаться лучшимъ, изъ котораго всѣ другія рѣшенія являются какъ очевидное слѣдствіе или видоизмѣненіе перваго. Запоминаніе отдѣльныхъ пріемовъ, не связанныхъ между собою одною основною идею, весьма обременительно для памяти и принимаетъ характеръ рецептовъ.
Изъ числа послѣдующихъ писателей наибольшаго вниманія заслуживаетъ ліонскій архитекторъ Дезаргъ (Desarg, 1593 — 1662), какъ по своимъ трудамъ по математикѣ вообще, такъ и по перспективѣ. Къ сожалѣнію, его сочиненія дошли до насъ въ отрывкахъ, и мы о его трудахъ узнаемъ изъ другихъ совре
менныхъ и послѣдующихъ ему писателей, въ особенности же изъ сочиненій друга его, А. Босса (А. Bosse), извѣстнаго гравера и профессора перспективы въ Ecole des Beaux-Arts, который прямо говоритъ, что основныя идеи, проводимыя имъ въ его сочиненіяхъ о перспективѣ, принадлежатъ Дезаргу, а собственно
ему принадлежатъ только перо и рѣзецъ. У Босса встрѣчается весьма интересный пріемъ дѣленія перспективы прямолинейнаго отрѣзка на части пропорціональныя даннымъ.
Дезаргъ писалъ сжато, кратко, и излагая общую теорію, предоставлялъ читателю самому пріискать сокращенія общихъ рѣше
ній, соотвѣтственно каждому встрѣтившемуся частному случаю. Дезаргъ для опредѣленія по величинѣ и по положенію даннаго предмета принималъ три плоскости проекцій (три плоскости ко
ординатъ): предметную плоскость (горизонтальную), картинную (вертикальную) и центральную, т. е. проходящую черезъ точку зрѣнія и перпендикулярную къ двумъ предыдущимъ. Положеніе каждой точки даннаго предмета опредѣлялось ея разстояніями (координатами) до сказанныхъ трехъ плоскостей. Принимая такой пріемъ для опредѣленія положенія точекъ даннаго предмета, Де
заргъ имѣлъ въ виду достигнуть возможности избѣгать построенія его ортогальныхъ проекцій, а прямо приступать къ построенію перспективы на плоскости чертежа, слѣдовательно по возможности уменьшить размѣръ площади, на которой производится исполни
тельное построеніе. Съ этою жe цѣлію онъ избѣгалъ построенія перспективы по точкамъ схода и предлагалъ три перспективныхъ масштаба: ширины, высоты и глубины. Построеніе такихъ мас
штабовъ весьма просто. Для этого онъ откладываетъ по линіи
основанія SS_1 (фиг. 25) отъ точки о, вправо и влѣво линейные единицы въ натуральную величину или въ извѣстную долю. Черезъ точки 1, 2, 3, 4, . . . . проводить перспективы линій перпендику
лярныхъ къ картинной плоскости и лежащихъ на предметной плоскости. Перспективы такихъ линій будутъ имѣть точкою схода центральную точку о. Такія же единицы откладывать по линіи kl и черезъ точки 1, 2, 3, . . . этой прямой проводить перспективы прямыхъ линій перпендикулярныхъ тоже къ картинной плоскости,
но лежащихъ въ вертикальной плоскости (перпендикулярной къ картинной), у которой вертикальнымъ слѣдомъ служитъ линія kl,
Тринадцатый методъ — это комбинація предыдущаго съ 8-мъ методомъ, т. е. топку а (фиг. 18) замѣняетъ точкою b, у которой и опредѣляетъ перспективу, какъ въ 12 методѣ, а по перспективѣ b′ опредѣляетъ перспективу а , какъ въ 8-мъ методѣ.
Въ четырнадцатомъ методѣ точка b берется на линіи ор, а на исполнительномъ чертежѣ даже и этой точки не откладываетъ, а прямо откладываетъ отрѣзокъ od, равный отрѣзку af, и отрѣзокъ оl, равный отрѣзку ро, и т. д.
Пятнадцатый методъ, самый старинный: черезъ данную точку проводитъ двѣ линіи, изъ которыхъ одна перпендикулярная, а другая подъ угломъ въ 45° градусовъ, слѣдов. точками схода будутъ точка о и точка разстояній d, точно такъ-же и шестнадцатый методъ основанъ на проведеніи линій подъ углами въ 45° и ихъ точкахъ схода (точекъ разстояній).
Въ семнадцатомъ методѣ проводитъ линію ар (фиг. 19) и ея проектирующую плоскость (pq, r ); точку а переноситъ въ точку b на линію ор, а плоскость (ро_1,о) совмѣщаетъ на предметную пло
скость. Тогда точка зрѣнія приметъ положеніе точки υ, а линія υb будетъ совмѣщенный лучъ зрѣнія, слѣдов. отрѣзокъ о_1g будетъ ордината точки b перспективы точки b, а потому, проведя ли
нію b а′ параллельно линіи SS_1 и опредѣливъ ея пересѣченіе а′ съ линіею ра, получаетъ перспективу данной точки а.
Гвидо Убальди замѣчаемъ, что совмѣщеніе плоскости (ро_1 о) можетъ быть сдѣлано и на картинную плоскость, какъ это дѣлали другіе писатели.
Въ восемнадцатомъ методѣ онъ совмѣщеніе плоскости (ро_1 о) дѣлаетъ въ другую сторону, отчего и комбинація прочерченныхъ линій на плоскости чертежа измѣняется. Методы 19, 20 и 21 со
вершенно одинаковы по существу рѣшеній. Такъ, въ двадцатомъ методѣ Гвидо Убальди проводитъ линію ра (фиг. 20), а проекти
рующую плоскость совмѣщаетъ съ предметною плоскостью, тогда точка зрѣнія приметъ положеніе точки υ, а лучъ зрѣнія, прове
денный черезъ точку зрѣнія къ данной точкѣ а, — положеніе υa. Проведя линію gА, получаетъ точку А, которая и будетъ пер
спектива точки а, но полученная въ совмѣщенномъ положеніи; отложивъ отрѣзокъ gа , равный отрѣзку gА, получаетъ требуемую перспективу а точки a.
Въ девятнадцатомъ методѣ величину рυ онъ откладываетъ надъ точкою р по линіи ро, которую соединивъ съ точкою а, опредѣляетъ точку а . Здѣсь онъ образуетъ треугольники подобные треугольникамъ арυ и аg А.
Въ двадцать же первомъ методѣ линію рυ онъ проводитъ параллельно линіи SS, и т. д.
На основаніи такого построенія, Гвидо Убальди выводитъ заключеніе, что когда данный отрѣзокъ прямой линіи, параллельный картинной плоскости, будетъ раздѣленъ на нѣсколько частей, то его перспектива будетъ прямолинейный отрѣзокъ параллельной
линіи SS_1, и перспективы точекъ дѣленія перваго раздѣлятъ его перспективу на части соотвѣтственно пропорціональныя дѣленіямъ перваго. Какъ слѣдствіе этого замѣчанія, Гвидо Убальди предла
гаетъ двадцатъ-второй методъ построенія перспективы. Наприм.: чтобы построить перспективу точки a (фиг. 21), строитъ квадратъ тпkl и проводитъ линію mad; потомъ строитъ перспективу т п к l′ (фиг. 22) этого квадрата, откладываетъ отрѣзокъ l′d пропорціональный отрѣзку ld, т. е. чтобы lk/ld = l к/l d проводитъ линіи m′d , и с′о, которыя своимъ пересѣченіемъ опредѣлятъ перспективу а′ точки а.
Его двадцать третій методъ тоже заслуживаетъ нашего вниманія. Для построенія перспективы точки а онъ беретъ произ
вольно точки т и п (фиг. 23) и проводитъ линіи п a i и т а j; строитъ перспективы m , п′, і′ и j (фиг. 24) точекъ m, п ,і и j и проводитъ линіи n′і′ и m′j, которыя своимъ пересѣченіемъ опредѣлятъ перспективу а′ данной точки а.
Далѣе авторъ дѣлаетъ замѣчаніе, что точка а можетъ служить для опредѣленія перспективы другой точки, подобно тому какъ служили точки m и п для опредѣленія этой перспективы а′ точки а, т. е. когда построены перспективы двухъ точекъ какой-нибудь плоской фигуры, лежащей на предметной плоскости, то нѣтъ надобности ни въ точкѣ υ, ни въ точкѣ р для построенія перспективы другой точки этой-же плоской фигуры.
Приводя нѣсколько методовъ построенія перспективъ данныхъ точекъ, Гвидо Убальди не говоритъ, который изъ нихъ можетъ считаться самымъ лучшимъ, а подобный вопросъ, разумѣется, мо
жетъ явиться у каждаго. Дѣйствительно, трудно дать на такой вопросъ опредѣленный отвѣтъ, когда теоретическое (геометриче
ское) рѣшеніе переходитъ на практическую почву, т. е. къ исполненію рѣшенія графическими линіями на плоскости чертежа.
На исполнительномъ чертежѣ всѣ геометрическія линія замѣняются
графическими, т. е. имѣющими нѣкоторую ширину, а потому этито графическія линіи и имѣютъ вліяніе въ каждомъ данномъ случаѣ на выборъ того или другого теоретическаго (геометриче
скаго) рѣшенія. Такъ, напримѣръ, направленіе графической линіи трудно опредѣлить двумя точками, близко лежащими одна отъ другой, тогда какъ на это разстояніе при геометрическихъ точкахъ и линіяхъ не обращается никакого вниманія; двѣ геометри
ческія линіи своимъ пересѣченіемъ опредѣляютъ одну только точку, а двѣ графическія линіи своимъ пересѣченіемъ образуютъ нѣкоторую удлинненую по направленію пересѣкающихъ линій площадку, и удлиненніе этой площадки увеличивается по мѣрѣ того, какъ уголъ встрѣчи сказанныхъ линій начинаетъ отъ 90° дѣ
латься все менѣе и менѣе, а потому, для болѣе точнаго опредѣнія точки пересѣченіемъ двухъ графическихъ линій, надо удовлетворять условію, чтобы уголъ ихъ встрѣчи заключался между 60°
и 90°, и т. д. Кромѣ того, на выборъ того или другого пріема рѣшенія при исполненіи его графическими линіями, имѣетъ влія
ніе предѣлъ или рамки исполнительнаго чертежа, а также и остающееся свободное мѣсто отъ предыдущихъ или послѣдую
щихъ построеній, которыя тоже не слѣдуетъ упускать изъ виду; кромѣ того, изъ числа всѣхъ рѣшеній, удовлетворяющихъ предыдущимъ требованіямъ, слѣдуетъ выбирать то, которое при встрѣ
тившемся частномъ заданіи данныхъ потребуетъ наименьшее число прочерченныхъ графическихъ линій на плоскости чертежа. Относительно же теоретическаго изложенія пріемовъ рѣшеній, тотъ мо
жетъ считаться лучшимъ, изъ котораго всѣ другія рѣшенія являются какъ очевидное слѣдствіе или видоизмѣненіе перваго. Запоминаніе отдѣльныхъ пріемовъ, не связанныхъ между собою одною основною идею, весьма обременительно для памяти и принимаетъ характеръ рецептовъ.
Изъ числа послѣдующихъ писателей наибольшаго вниманія заслуживаетъ ліонскій архитекторъ Дезаргъ (Desarg, 1593 — 1662), какъ по своимъ трудамъ по математикѣ вообще, такъ и по перспективѣ. Къ сожалѣнію, его сочиненія дошли до насъ въ отрывкахъ, и мы о его трудахъ узнаемъ изъ другихъ совре
менныхъ и послѣдующихъ ему писателей, въ особенности же изъ сочиненій друга его, А. Босса (А. Bosse), извѣстнаго гравера и профессора перспективы въ Ecole des Beaux-Arts, который прямо говоритъ, что основныя идеи, проводимыя имъ въ его сочиненіяхъ о перспективѣ, принадлежатъ Дезаргу, а собственно
ему принадлежатъ только перо и рѣзецъ. У Босса встрѣчается весьма интересный пріемъ дѣленія перспективы прямолинейнаго отрѣзка на части пропорціональныя даннымъ.
Дезаргъ писалъ сжато, кратко, и излагая общую теорію, предоставлялъ читателю самому пріискать сокращенія общихъ рѣше
ній, соотвѣтственно каждому встрѣтившемуся частному случаю. Дезаргъ для опредѣленія по величинѣ и по положенію даннаго предмета принималъ три плоскости проекцій (три плоскости ко
ординатъ): предметную плоскость (горизонтальную), картинную (вертикальную) и центральную, т. е. проходящую черезъ точку зрѣнія и перпендикулярную къ двумъ предыдущимъ. Положеніе каждой точки даннаго предмета опредѣлялось ея разстояніями (координатами) до сказанныхъ трехъ плоскостей. Принимая такой пріемъ для опредѣленія положенія точекъ даннаго предмета, Де
заргъ имѣлъ въ виду достигнуть возможности избѣгать построенія его ортогальныхъ проекцій, а прямо приступать къ построенію перспективы на плоскости чертежа, слѣдовательно по возможности уменьшить размѣръ площади, на которой производится исполни
тельное построеніе. Съ этою жe цѣлію онъ избѣгалъ построенія перспективы по точкамъ схода и предлагалъ три перспективныхъ масштаба: ширины, высоты и глубины. Построеніе такихъ мас
штабовъ весьма просто. Для этого онъ откладываетъ по линіи
основанія SS_1 (фиг. 25) отъ точки о, вправо и влѣво линейные единицы въ натуральную величину или въ извѣстную долю. Черезъ точки 1, 2, 3, 4, . . . . проводить перспективы линій перпендику
лярныхъ къ картинной плоскости и лежащихъ на предметной плоскости. Перспективы такихъ линій будутъ имѣть точкою схода центральную точку о. Такія же единицы откладывать по линіи kl и черезъ точки 1, 2, 3, . . . этой прямой проводить перспективы прямыхъ линій перпендикулярныхъ тоже къ картинной плоскости,
но лежащихъ въ вертикальной плоскости (перпендикулярной къ картинной), у которой вертикальнымъ слѣдомъ служитъ линія kl,