Перспективы такихъ линій будутъ имѣть точкою схода ту-же центральную точку о. Построивъ точки D и D_1 разстояній и соеди
нивъ одну изъ нихъ, напр. В, съ точками 1, 2, 3, 4, . . .. линіи SS_1 прямыми линіями, получаемъ перспективы прямыхъ линій, ле
жащихъ на предметной плоскости и составляющихъ углы въ 45° съ линіею основанія SS_1. Слѣдовательно, точки 1, 2, 3, 4, ... .
полученныя отъ пересѣченія сказанныхъ перспективъ съ линіею то, отдѣлятъ на ней такіе отрѣзки, которые будутъ перспекти
вами отрѣзковъ равныхъ выбранной единицѣ мѣры, а проведенныя черезъ эти точки линіи, параллельно SS_1, будутъ перспективами прямыхъ линій, лежащихъ на предметной плоскости, параллель
ныхъ основанію SS_1 и идущихъ одна отъ другой на разстояніи равной принятой единицѣ мѣры. Построеніе перспективы данной точки, употребляя перспективные масштабы, состоитъ въ слѣдующемъ. Положимъ, что данная точка А отстоитъ влѣво отъ центральной плоскости на 3 единицы, отъ картинной плоскости на 2 еди
ницы и находится надъ предметною плоскостію на разстояніи 8 единицъ. Перезъ точку 3 линіи SS_1 и точку о проводимъ прямую,— тогда всякая точка, взятая на этой проведенной прямой, будетъ выражать перспективу точки, отстоящей влѣво отъ центральной плоскости па 3 един. Ежели черезъ точку 2 линіи то проведемъ линію параллельно SS_1, то всякая точка, взятая на проведенной прямой, будетъ отстоять отъ картинной плоскости на 2 един., а потому точка b пересѣченія сказанныхъ проведенныхъ линій будетъ отстоять отъ центральной плоскости на 3 един., а отъ картинной на 2. Когда черезъ точку п пересѣченія линій bп и ко проведемъ линію пс параллельно kl, а черезъ точку 8 линіи kl и точку о проведемъ другую прямую и опредѣлимъ точку с ихъ взаимнаго пере
сѣченія, то отрѣзокъ пс будетъ перспективою прямолинейнаго отрѣзка, перпендикулярнаго къ предметной плоскости и котораго длина равна 8 един. Слѣдовательно, когда черезъ точку b прове
демъ линію bа, перпендикулярную къ линіи SS_1, а черезъ точку с линію са, ей параллельную, и опредѣлимъ точку а ихъ взаимнаго пересѣченія, то эта точка и будетъ требуемая перспектива данной точки А.
Построеніе перспективъ отдѣльныхъ точекъ по даннымъ ихъ разстояніямъ (координатамъ) до плоскостей координатъ и при по
мощи перспективныхъ масштабовъ весьма просто, но только въ томъ случаѣ, когда эти разстоянія выражаются цѣлыми или соиз
мѣримыми числами принятой для масштабовъ единицы мѣры. Но этотъ методъ имѣетъ въ себѣ еще и тотъ недостатокъ, что не даетъ возможности помощію точекъ схода исправлять направленіе прочерченныхъ линій, выражающихъ перспективы линій па
раллельныхъ, лишаетъ возможности построенія линій тѣней прямо на перспективѣ и т. п., но, не смотря на все эти недостатки, ме
тодъ Дезарга весьма распространенъ между практиками, а для извѣстныхъ цѣлей и требованій, безспорно, весьма пригоденъ. Дезаргъ, точно такъ же какъ Стевинъ (Stevin, 1605—1608), гово
ритъ, что каждая система параллельныхъ линіи дастъ въ перспективѣ систему линій, сходящихся въ одной точкѣ, но большаго вниманія для теоріи перспективы заслуживаетъ замѣчаніе Дезарга, что ортогональная проекція и линейная перспектива, съ геометри
ческой точки зрѣнія, одно и то-же: перспектива есть коническая проекція, т. е. такая проекція, которая получается отъ проекти
рованія предмета линіями, проходящими черезъ одну и ту-же точку (точку зрѣнія), а ортогональная проэкція, та-же перспектива, но
только получаемая въ томъ случаѣ,когда сказанная точка (точка зрѣнія) будетъ удалена на безконечное разстояніе, а потому, за
ключаетъ онъ, методъ рѣшенія геометрическихъ задачъ въ томъ и другомъ методѣ проектированія одинъ и тотъ-же. Дезаргъ, имѣя въ виду графическія рѣшенія геометрическихъ задачъ, много сдѣ
лалъ и для высшей геометріи, придерживаясь методовъ древнихъ геометровъ; такъ напр., онъ положилъ основанія для теоріи сѣ
кущихъ, теоріи поляръ и инволюціонной теоріи, которыя, будучи
разработаны нашимъ современнымъ геометромъ Шалемъ, служатъ основаніемъ для высшей геометріи; но когда Дезаргъ давалъ рѣ
шенія задачъ, имѣющихъ практическое значеніе, то по большей части избѣгалъ изложенія теоретическихъ началъ, на которыхъ основывалось предлагаемое имъ рѣшеніе. Впрочемъ, Дезаргу нельзя этого ставить въ особенный упрекъ: то-же самое дѣлали и другіе его современники, — какъ, напр., знаменитый геометръ Ферма. Въ то время можно было встрѣтить такого рода объявленія: «я, такой-то,
плачу такую-то сумму депегъ тому, кто докажетъ, что мой методъ построенія перспективы ошибоченъ»; а этотъ методъ построенія перспективы предлагался безъ теоретическаго доказательства, а просто, какъ исполнительное построеніе рѣшенія задачи. Такая характерная особенность предлагать только одни исполнительныя
построенія вызвала весьма любопытное явленіе: Дезаргъ изложилъ рѣшеніе одной задачи, встрѣтившейся при разрѣзкѣ камней, не давъ ему теоретическаго объясненія; Курабелль (Curabelle) стадъ оспаривать вѣрность рѣшенія; завязался споръ, который привелъ къ процессу. Этотъ процессъ назначенъ былъ къ разбирательству во французскомъ сенатѣ на 12 мая 1644 года, но Курабелль на это разбирательство не явился. Нельзя пройти молчаніемъ и слѣ
дующаго факта: Боссъ преподавалъ перспективу въ Ecole des Beaux-Arts па основаніи идей Дезарга, но черезъ нѣсколько лѣтъ,
по интригамъ живописца Ле-Брена (Le-Brun), ему было запрещено преподавать перспективу на сказанныхъ началахъ, и Боссъ, не желая измѣнять своихъ убѣжденій, оставилъ профессуру въ этомъ учебномъ заведеніи.
Изъ сочиненій Босса видно, что Дезаргъ старался разрѣшить задачу построенія перспективы прямой линіи какъ параллельной другой, заданною перспективою, такъ и встрѣчающей данную перспективою прямую подъ даннымъ угломъ, не употребляя ни то
чекъ схода, ни ортогональныхъ проекцій, а помощію масштабовъ
угловъ, но какъ на такихъ масштабахъ могли быть построены только извѣстныя градусныя дѣленія, то при нѣкоторыхъ частныхъ значеніяхъ этихъ угловъ, не соотвѣтствующихъ принятому для масштабовъ градусныхъ дѣленій, приходилось дѣлать новое построеніе, а потому и нельзя сказать, что эти задачи были имъ разрѣшены вполнѣ удовлетворительно.
Въ заключеніе о значеніи Дезарга въ исторіи развитія перспективы надо замѣтить, что онъ еще тогда высказывалъ, какъ архитекторъ, замѣчанія о необходимости перспективнаго изображе
нія каждаго архитектурнаго проекта. Его послѣдователь Боссъ разбиваетъ эту мысль еще подробнѣе, указывая на практическое значеніе перспективныхъ изображеній для такихъ цѣлей.
При изслѣдованіи геометрическихъ величинъ, Дезаргъ придерживался, какъ уже замѣтили выше, метода древнихъ геометровъ,
но современникъ его, Декартъ, предложилъ свой аналитическій методъ и остановилъ на долгое время дальнѣйшій ходъ развитія старѣйшаго метода. Дезаргъ былъ забытъ до конца прошедшаго столѣтія.
Мигонъ (Migon, сочиненіе его напечатано въ 1643 г.), для опредѣленія точекъ схода горизонтальныхъ линій, идущихъ подъ извѣстными углами наклоненія къ картинной плоскости, предла
гаетъ весьма простой пріемъ: описываетъ изъ точки р, какъ центра, радіусомъ ро_1 (фиг. 26) четверть окружности о_1 BА и дѣ
лить ее на 10°, 20°, 30°, . . . .; радіусы, проходящіе черезъ точки дѣленія, продолжаетъ до встрѣчи съ линіею основанія SS_1, а че
резъ эти точки а, b, с, . . ., встрѣчи проводить линіи аа , bb , сс ... и опредѣляетъ точки а , b , с .. . ихъ встрѣчи съ линіею горизонта hh, гдѣ ставитъ соотвѣтствующія числа. Такія же дѣле
нія откладываетъ по линіи hh и влѣво отъ точки о. Полученныя такимъ построеніемъ будутъ точки схода горизонтальныхъ линій, составляющихъ съ картинною плоскостью углы въ 10°, 20°, 30°,.....
При построеніи перспективъ точки и прямолинейнаго отрѣзка онъ пользуется точкою схода g (фиг. 27) перспективъ mg и пg, параллельныхъ хордъ am и bп угла alm, составляемаго линіею
al даннаго отрѣзка ab съ линіею основанія SS_1. При исполнительномъ-же построеніи, для опредѣленія точекъ т и п достаточно отложить отрѣзки lт и ln, соотвѣтственно равные отрѣзкамъ lа и lb, а для опредѣленія точки g достаточно отложить отрѣзокъ kg, равный отрѣзку kѵ, проводя предварительно линію υk параллельно al и опредѣливъ точку k ея пересѣченія съ линіею го
ризонта hh. Но какъ такой пріемъ построенія можно встрѣтить у Баттаза (Battaz), напечатавшаго свое сочиненіе черезъ годъ по
слѣ изданія сочиненія Мигона, то поэтому и трудно сказать, кто изъ нихъ первый попалъ на подобный пріемъ построенія перспективы.
Къ этому же времени принадлежитъ и сочиненіе Вавлезара (Vavlezard), напечатанное въ 1643 году, въ которомъ встрѣчается большое собраніе обратныхъ задачъ перспективы.
Геометръ С Гравезандъ (S’Gravesande), имѣя отъ роду не болѣе 17-ти лѣтъ, напечаталъ въ 1711 году сочиненіе о перспективѣ, въ которомъ даетъ строгія математическія доказательства построе
ніямъ перспективы, т. е. обрабатываетъ теоретическую сторону этого предмета. Между прочимъ, у него замѣчательно построеніе сопряженныхъ діаметровъ кривыхъ 2-го порядка, а также и слѣдующее построеніе перспективы а (фиг. 28) точки а: проведя линію аυ, откладываетъ gс, равный отрѣзку gυ, и отрѣзокъ Sd, рав
ный отрѣзку fa, и проводитъ линію cd, которая, пересѣкаясь съ
аυ, опредѣляетъ точку а . Доказательство справедливости этого построенія онъ выводить изъ ряда подобныхъ треугольниковъ.
Сочиненіе другого геометра, Гамильтона (Hamiltone), напеча
нивъ одну изъ нихъ, напр. В, съ точками 1, 2, 3, 4, . . .. линіи SS_1 прямыми линіями, получаемъ перспективы прямыхъ линій, ле
жащихъ на предметной плоскости и составляющихъ углы въ 45° съ линіею основанія SS_1. Слѣдовательно, точки 1, 2, 3, 4, ... .
полученныя отъ пересѣченія сказанныхъ перспективъ съ линіею то, отдѣлятъ на ней такіе отрѣзки, которые будутъ перспекти
вами отрѣзковъ равныхъ выбранной единицѣ мѣры, а проведенныя черезъ эти точки линіи, параллельно SS_1, будутъ перспективами прямыхъ линій, лежащихъ на предметной плоскости, параллель
ныхъ основанію SS_1 и идущихъ одна отъ другой на разстояніи равной принятой единицѣ мѣры. Построеніе перспективы данной точки, употребляя перспективные масштабы, состоитъ въ слѣдующемъ. Положимъ, что данная точка А отстоитъ влѣво отъ центральной плоскости на 3 единицы, отъ картинной плоскости на 2 еди
ницы и находится надъ предметною плоскостію на разстояніи 8 единицъ. Перезъ точку 3 линіи SS_1 и точку о проводимъ прямую,— тогда всякая точка, взятая на этой проведенной прямой, будетъ выражать перспективу точки, отстоящей влѣво отъ центральной плоскости па 3 един. Ежели черезъ точку 2 линіи то проведемъ линію параллельно SS_1, то всякая точка, взятая на проведенной прямой, будетъ отстоять отъ картинной плоскости на 2 един., а потому точка b пересѣченія сказанныхъ проведенныхъ линій будетъ отстоять отъ центральной плоскости на 3 един., а отъ картинной на 2. Когда черезъ точку п пересѣченія линій bп и ко проведемъ линію пс параллельно kl, а черезъ точку 8 линіи kl и точку о проведемъ другую прямую и опредѣлимъ точку с ихъ взаимнаго пере
сѣченія, то отрѣзокъ пс будетъ перспективою прямолинейнаго отрѣзка, перпендикулярнаго къ предметной плоскости и котораго длина равна 8 един. Слѣдовательно, когда черезъ точку b прове
демъ линію bа, перпендикулярную къ линіи SS_1, а черезъ точку с линію са, ей параллельную, и опредѣлимъ точку а ихъ взаимнаго пересѣченія, то эта точка и будетъ требуемая перспектива данной точки А.
Построеніе перспективъ отдѣльныхъ точекъ по даннымъ ихъ разстояніямъ (координатамъ) до плоскостей координатъ и при по
мощи перспективныхъ масштабовъ весьма просто, но только въ томъ случаѣ, когда эти разстоянія выражаются цѣлыми или соиз
мѣримыми числами принятой для масштабовъ единицы мѣры. Но этотъ методъ имѣетъ въ себѣ еще и тотъ недостатокъ, что не даетъ возможности помощію точекъ схода исправлять направленіе прочерченныхъ линій, выражающихъ перспективы линій па
раллельныхъ, лишаетъ возможности построенія линій тѣней прямо на перспективѣ и т. п., но, не смотря на все эти недостатки, ме
тодъ Дезарга весьма распространенъ между практиками, а для извѣстныхъ цѣлей и требованій, безспорно, весьма пригоденъ. Дезаргъ, точно такъ же какъ Стевинъ (Stevin, 1605—1608), гово
ритъ, что каждая система параллельныхъ линіи дастъ въ перспективѣ систему линій, сходящихся въ одной точкѣ, но большаго вниманія для теоріи перспективы заслуживаетъ замѣчаніе Дезарга, что ортогональная проекція и линейная перспектива, съ геометри
ческой точки зрѣнія, одно и то-же: перспектива есть коническая проекція, т. е. такая проекція, которая получается отъ проекти
рованія предмета линіями, проходящими черезъ одну и ту-же точку (точку зрѣнія), а ортогональная проэкція, та-же перспектива, но
только получаемая въ томъ случаѣ,когда сказанная точка (точка зрѣнія) будетъ удалена на безконечное разстояніе, а потому, за
ключаетъ онъ, методъ рѣшенія геометрическихъ задачъ въ томъ и другомъ методѣ проектированія одинъ и тотъ-же. Дезаргъ, имѣя въ виду графическія рѣшенія геометрическихъ задачъ, много сдѣ
лалъ и для высшей геометріи, придерживаясь методовъ древнихъ геометровъ; такъ напр., онъ положилъ основанія для теоріи сѣ
кущихъ, теоріи поляръ и инволюціонной теоріи, которыя, будучи
разработаны нашимъ современнымъ геометромъ Шалемъ, служатъ основаніемъ для высшей геометріи; но когда Дезаргъ давалъ рѣ
шенія задачъ, имѣющихъ практическое значеніе, то по большей части избѣгалъ изложенія теоретическихъ началъ, на которыхъ основывалось предлагаемое имъ рѣшеніе. Впрочемъ, Дезаргу нельзя этого ставить въ особенный упрекъ: то-же самое дѣлали и другіе его современники, — какъ, напр., знаменитый геометръ Ферма. Въ то время можно было встрѣтить такого рода объявленія: «я, такой-то,
плачу такую-то сумму депегъ тому, кто докажетъ, что мой методъ построенія перспективы ошибоченъ»; а этотъ методъ построенія перспективы предлагался безъ теоретическаго доказательства, а просто, какъ исполнительное построеніе рѣшенія задачи. Такая характерная особенность предлагать только одни исполнительныя
построенія вызвала весьма любопытное явленіе: Дезаргъ изложилъ рѣшеніе одной задачи, встрѣтившейся при разрѣзкѣ камней, не давъ ему теоретическаго объясненія; Курабелль (Curabelle) стадъ оспаривать вѣрность рѣшенія; завязался споръ, который привелъ къ процессу. Этотъ процессъ назначенъ былъ къ разбирательству во французскомъ сенатѣ на 12 мая 1644 года, но Курабелль на это разбирательство не явился. Нельзя пройти молчаніемъ и слѣ
дующаго факта: Боссъ преподавалъ перспективу въ Ecole des Beaux-Arts па основаніи идей Дезарга, но черезъ нѣсколько лѣтъ,
по интригамъ живописца Ле-Брена (Le-Brun), ему было запрещено преподавать перспективу на сказанныхъ началахъ, и Боссъ, не желая измѣнять своихъ убѣжденій, оставилъ профессуру въ этомъ учебномъ заведеніи.
Изъ сочиненій Босса видно, что Дезаргъ старался разрѣшить задачу построенія перспективы прямой линіи какъ параллельной другой, заданною перспективою, такъ и встрѣчающей данную перспективою прямую подъ даннымъ угломъ, не употребляя ни то
чекъ схода, ни ортогональныхъ проекцій, а помощію масштабовъ
угловъ, но какъ на такихъ масштабахъ могли быть построены только извѣстныя градусныя дѣленія, то при нѣкоторыхъ частныхъ значеніяхъ этихъ угловъ, не соотвѣтствующихъ принятому для масштабовъ градусныхъ дѣленій, приходилось дѣлать новое построеніе, а потому и нельзя сказать, что эти задачи были имъ разрѣшены вполнѣ удовлетворительно.
Въ заключеніе о значеніи Дезарга въ исторіи развитія перспективы надо замѣтить, что онъ еще тогда высказывалъ, какъ архитекторъ, замѣчанія о необходимости перспективнаго изображе
нія каждаго архитектурнаго проекта. Его послѣдователь Боссъ разбиваетъ эту мысль еще подробнѣе, указывая на практическое значеніе перспективныхъ изображеній для такихъ цѣлей.
При изслѣдованіи геометрическихъ величинъ, Дезаргъ придерживался, какъ уже замѣтили выше, метода древнихъ геометровъ,
но современникъ его, Декартъ, предложилъ свой аналитическій методъ и остановилъ на долгое время дальнѣйшій ходъ развитія старѣйшаго метода. Дезаргъ былъ забытъ до конца прошедшаго столѣтія.
Мигонъ (Migon, сочиненіе его напечатано въ 1643 г.), для опредѣленія точекъ схода горизонтальныхъ линій, идущихъ подъ извѣстными углами наклоненія къ картинной плоскости, предла
гаетъ весьма простой пріемъ: описываетъ изъ точки р, какъ центра, радіусомъ ро_1 (фиг. 26) четверть окружности о_1 BА и дѣ
лить ее на 10°, 20°, 30°, . . . .; радіусы, проходящіе черезъ точки дѣленія, продолжаетъ до встрѣчи съ линіею основанія SS_1, а че
резъ эти точки а, b, с, . . ., встрѣчи проводить линіи аа , bb , сс ... и опредѣляетъ точки а , b , с .. . ихъ встрѣчи съ линіею горизонта hh, гдѣ ставитъ соотвѣтствующія числа. Такія же дѣле
нія откладываетъ по линіи hh и влѣво отъ точки о. Полученныя такимъ построеніемъ будутъ точки схода горизонтальныхъ линій, составляющихъ съ картинною плоскостью углы въ 10°, 20°, 30°,.....
При построеніи перспективъ точки и прямолинейнаго отрѣзка онъ пользуется точкою схода g (фиг. 27) перспективъ mg и пg, параллельныхъ хордъ am и bп угла alm, составляемаго линіею
al даннаго отрѣзка ab съ линіею основанія SS_1. При исполнительномъ-же построеніи, для опредѣленія точекъ т и п достаточно отложить отрѣзки lт и ln, соотвѣтственно равные отрѣзкамъ lа и lb, а для опредѣленія точки g достаточно отложить отрѣзокъ kg, равный отрѣзку kѵ, проводя предварительно линію υk параллельно al и опредѣливъ точку k ея пересѣченія съ линіею го
ризонта hh. Но какъ такой пріемъ построенія можно встрѣтить у Баттаза (Battaz), напечатавшаго свое сочиненіе черезъ годъ по
слѣ изданія сочиненія Мигона, то поэтому и трудно сказать, кто изъ нихъ первый попалъ на подобный пріемъ построенія перспективы.
Къ этому же времени принадлежитъ и сочиненіе Вавлезара (Vavlezard), напечатанное въ 1643 году, въ которомъ встрѣчается большое собраніе обратныхъ задачъ перспективы.
Геометръ С Гравезандъ (S’Gravesande), имѣя отъ роду не болѣе 17-ти лѣтъ, напечаталъ въ 1711 году сочиненіе о перспективѣ, въ которомъ даетъ строгія математическія доказательства построе
ніямъ перспективы, т. е. обрабатываетъ теоретическую сторону этого предмета. Между прочимъ, у него замѣчательно построеніе сопряженныхъ діаметровъ кривыхъ 2-го порядка, а также и слѣдующее построеніе перспективы а (фиг. 28) точки а: проведя линію аυ, откладываетъ gс, равный отрѣзку gυ, и отрѣзокъ Sd, рав
ный отрѣзку fa, и проводитъ линію cd, которая, пересѣкаясь съ
аυ, опредѣляетъ точку а . Доказательство справедливости этого построенія онъ выводить изъ ряда подобныхъ треугольниковъ.
Сочиненіе другого геометра, Гамильтона (Hamiltone), напеча