тайное въ Лондонѣ въ 1738 г., отличается отъ предыдущихъ тѣмъ, что авторъ при рѣшеніи задачъ перспективы пользуется въ боль
шинствѣ случаевъ гармоническими сѣченіями и ариѳметическими выкладками. Гамильтонъ не стѣсняется и кривыми поверхностями. На основаніи перспективы и гармоническихъ сѣченій, онъ выво
дитъ свойства кривыхъ 2-го порядка. Сочиненія C Гравезанда и Гамильтона заключаютъ въ себѣ весьма много интереснаго изъ высшей геометріи.
Брукъ Тэйлоръ (Broac Taylor) отличается отъ прежнихъ писателей тѣмъ, что отъ общаго переходитъ къ частному. Переводъ его на французскій языкъ былъ напечатанъ въ Амстердамѣ въ 1757 году, а на итальянскій перевелъ Францискъ Жакье (Fran
cesco Jaquier), профессоръ физики въ Collège de la Sapience a Koma, съ примѣчаніями, касающимися оптики и геометріи (Elementi di perspettiva). На этотъ переводъ, напечатанный въ Римѣ въ 1755 году, указываемъ, кромѣ того интереса, который пред
ставляютъ собою примѣчанія Жакье, еще и потому, что, не смотря на богатство итальянской литературы по перспективѣ, сочиненіе Брука Тэйлора оказалось полезнымъ перевести на итальянскій языкъ.
Наконецъ, упомянемъ о сочиненіи Ламберта (Lambert), напечатанномъ въ Цюрихѣ на нѣмецкомъ языкѣ въ 1759—1774, а потомъ переведенномъ на французскій, въ которомъ авторъ старается при построеніи перспективы избѣгать выстраиванія горизонтальной проекціи (плана) даннаго предмета. Конечно, эта идея
не новая и ее можно встрѣтить у Вавлезара, Дезарга, Босса и нѣкоторыхъ другихъ.
Для опредѣленія направленія линій, идущихъ подъ данными углами, и для рѣшенія тому подобныхъ задачъ, Ламбертъ поль
зуется дѣленіемъ линіи горизонта соотвѣтственно тангенсамъ угловъ; для отысканія длины линій пользуется точкою схода хордъ и т. п. Онъ, между прочимъ, говоритъ, что кладетъ основа
ніе перспективной геометріи. Этимъ названіемъ воспользовались
впослѣдствіи Кузинери (Cousinery) и Дюфуръ (Dufour), но ихъ сочиненія относятся уже къ 3-му періоду историческаго развитія перспективы, какъ науки.
Для опредѣленія перспективы предмета, нѣкоторые писатели предлагали, вмѣсто графическаго пріема, пріемъ аналитическій; такъ, Лакайлъ въ сочиненіи своемъ, напечатанномъ въ 1750 году, выводитъ уравнія точки, выражающей перспективу данной, при чемъ координаты первой выражены, какъ функція координатъ второй и разстоянія точки зрѣнія до картинной плоскости. Опре
дѣляя разстояніе точки зрѣнія до картинной плоскости, Лакайль приходить къ уравненью 2-й степени, и т. п. Точно также и Костнеръ (Koestner) въ 1752 году употребляетъ аналитическій методъ для рѣшенія различныхъ задачъ перспективы.
Относительно аналитическаго метода рѣшенія вопросовъ и задачъ перспективы можно замѣтить, что аналитическій и графи
ческій способы рѣшеній имѣютъ свои границы, свои предѣлы. Можно привести множество случаевъ, въ которыхъ этотъ аналитическій методъ Декарта, это могучее средство, дѣлается безсиль
нымъ, какъ это замѣтилъ нашъ современный знаменитый геометръ Шалъ (Châles) въ своемъ «Aperçu historique du développement des méthodes en geometries Практическое примѣненіе теоріи перспек
тивы требуетъ графическаго рѣшенія: начертанія перспективнаго из
ображенія, слѣдовательно, и при аналитическомъ способѣ, все-таки,
вопросъ будетъ сведенъ къ вычерчиванію, говоря вообще, кривыхъ линій, у которыхъ точки выстраиваются по координатамъ, опредѣ
леннымъ изъ уравненій. Простота уравненій зависитъ отъ выбора осей координатъ, которыхъ положеніе, въ свою очередь, зависитъ отъ рода поверхности, а при построеніи перспективы приходится выбирать одну общую систему осей координатъ для цѣлой ком
бинаціи данныхъ геометрическихъ поверхностей, а потому и можно въ такомъ случаѣ встрѣтиться съ весьма сложными уравненіями и ихъ неудобными для практики рѣшеніями. Вслѣдствіе всего сказаннаго и всѣ попытки приложить методы аналитической гео
метріи къ теоріи перспективы остались безплодными, не говоря уже о тѣхъ случаяхъ, когда въ предложенныхъ задачахъ будутъ встрѣчаться поверхности и линіи, не выражаемыя уравненіями.
Въ заключеніе объ этомъ второмъ періодѣ развитія перспективы, какъ науки, надо замѣтить, что всѣ писатели преимущественно обращали вниманіе на рѣшеніе задачи о построеніи перспективы отдѣльной точки и прямой линіи; построеніе же перспективы видимаго очерка даннаго тѣла сводилось къ построенію обертываю
щей линіи къ построеннымъ перспективамъ различныхъ линій, находящихся или начерченныхъ на поверхности даннаго тѣла.
Развитіе перспективы зависѣло, какъ уже замѣтили выше, и
отъ развитія математическихъ наукъ. Эйлеръ напечаталъ свой мемуаръ объ обертывающихъ развертывающихся поверхностей, но не далъ въ немъ построенія кривой прикосновенія такого рода по
верхностей къ ихъ обертываемымъ; рѣшеніе такой важной задачи
для перспективы принадлежитъ французскому геометру Гаспару Монжъ (Monge), создавшему начертательную геометрію. Значеніе рѣшенія такой задачи можно объяснить и на слѣдующемъ при
мѣрѣ: ежели требуется построить перспективу даннаго шара опре
дѣленнаго радіуса при данной точкѣ зрѣнія, то обертывающей поверхностію будетъ поверхность конуса вращенія, у котораго вер
шина находится въ данной точкѣ зрѣнія, а линія прикосновенія будетъ окружность. Эту то окружность и надо опредѣлить, т. е. опредѣлить ея плоскость, положеніе центра и величину радіуса, а затѣмъ опредѣлить ея перспективу, которая и будетъ перспек
тивою даннаго шара. Конечно, такая линія прикосновенія или кри
вая видимаго обвода при нѣкоторыхъ частныхъ формахъ даннаго тѣла опредѣляется безъ особенныхъ вспомогательныхъ построеній, а потому и построеніе перспективы такого тѣла не представляетъ затрудненій. Такъ, напримѣръ, при построеніи перспективы даннаго куба (фиг. 29) или другого какого нибудь многогранника при дан
номъ положеніи точки зрѣнія V, легко было замѣтить, что косой многоугольникъ ABCDEFA служитъ ему видимымъ обводомъ, а построеніе его перспективы можетъ быть сведено къ построенію перспективы его реберъ, какъ прямолинейныхъ отрѣзковъ. При по
строеніи перспективы даннаго цилиндра вращенія, уже рѣшеніе задачи усложняется, потому что его ребра AF и СЕ (фиг. 30), принадлежащіе къ линіи видимаго обвода EDFABCE, не совпа
даютъ съ ребрами тп и kl, лежащими въ плоскости, проходящей черезъ ось оо, даннаго цилиндра: положеніе этихъ реберъ AF и СЕ не дано, хотя сказанный цилиндръ и опредѣленъ при заданіи и по положенію, и по величинѣ. Ежели эти ребра и дуги EDF и АВС будутъ опредѣлены, то построеніе перспективы даннаго ци
линдра будетъ сведено къ построенію перспективы сказанныхъ реберъ и дугъ.
Монжъ для рѣшеній графическимъ путемъ подобнаго рода задачъ воспользовался методомъ ортогональныхъ проекцій, который и положилъ въ основаніе своей начертательной геометріи. Рѣше
нія геометрическихъ задачъ графически, основываясь на методѣ ортогональнаго проектированія, можно встрѣтить и до Монжа. Такъ, въ сочиненіи объ архитектурѣ Филибера Делорма (Philiber de l’Orme), напечатанномъ въ 1567 году въ отдѣлѣ о разрѣзкѣ камней, встрѣчается собраніе такого рода рѣшеній, но они не сопровождаются соотвѣтствующими теоретическими доказательствами.
Геометрическія доказательства сказанныхъ рѣшеній встрѣчаются гораздо позже у Дешаля (de Châles или Dechales) въ его курсѣ математики, напечатанномъ въ 1672 году, въ которомъ говорится и о разрѣзкѣ камней, и потомъ у французскаго военнаго инженера Фрезье, напечатанномъ въ 1737 и 1739 годахъ подъ загла
віемъ: La théorie et la pratique de coupe de pierres et de bois
pour la construction des voûtes et d’autres articles de batimens civiles et militaires, ou Traité de stéréotomie a l’usage de l’architectes», Но и Фрезье не создалъ общей теоріи метода проекцій и эта честь вполнѣ принадлежитъ Гаспару Монжу. Надо, однако,
замѣтить, что Монжъ, будучи профессоромъ мезьерской инженерной школы, хотя и излагалъ своимъ слушателямъ и будущимъ французскимъ инженерамъ свой методъ рѣшенія геометрическихъ за
дачъ, но не имѣлъ права его опубликовать. Его методъ сдѣлался всеобщимъ достояніемъ только съ основанія первой нормальной школы во Франціи, въ концѣ XVIII столѣтія, куда онъ былъ приглашенъ профессоромъ, и напечаталъ свою начертательную гео
метрію (Geometrie descriptve). Монжъ хотя и не написалъ курса перспективы, а составилъ только весьма интересную записку по этому предмету, но какъ онъ далъ общую теорію рѣшеній геоме
трическихъ задачъ графическимъ путемъ на основаніи метода ортогональнаго проектированія, и въ томъ числѣ построеніе кри
вой прикосновенія обертывающей поверхности къ обертываемой, то поэтому и можно сказать, что съ появленіемъ начертательной геометріи Монжа начинается третій періодъ развитія перспективы, какъ науки.
Послѣдующіе писатели, принимая перспективу какъ коническую проэкцію даннаго предмета на какую нибудь плоскость и назы
вая ее то полярною проекціею, то центральною, разрабатывали тотъ или другой частный вопросъ перспективы, упрощали то или другое исполнительное построеніе перспективнаго изображенія. Такъ въ со
чиненіи Лавита (Lavit): «Traité de perspective» (1804) находимъ линію удаленія пораллельныхъ плоскостей (les lignes de fuite des plans parallèles), имѣющихъ одинаковое значеніе съ точками схода
шинствѣ случаевъ гармоническими сѣченіями и ариѳметическими выкладками. Гамильтонъ не стѣсняется и кривыми поверхностями. На основаніи перспективы и гармоническихъ сѣченій, онъ выво
дитъ свойства кривыхъ 2-го порядка. Сочиненія C Гравезанда и Гамильтона заключаютъ въ себѣ весьма много интереснаго изъ высшей геометріи.
Брукъ Тэйлоръ (Broac Taylor) отличается отъ прежнихъ писателей тѣмъ, что отъ общаго переходитъ къ частному. Переводъ его на французскій языкъ былъ напечатанъ въ Амстердамѣ въ 1757 году, а на итальянскій перевелъ Францискъ Жакье (Fran
cesco Jaquier), профессоръ физики въ Collège de la Sapience a Koma, съ примѣчаніями, касающимися оптики и геометріи (Elementi di perspettiva). На этотъ переводъ, напечатанный въ Римѣ въ 1755 году, указываемъ, кромѣ того интереса, который пред
ставляютъ собою примѣчанія Жакье, еще и потому, что, не смотря на богатство итальянской литературы по перспективѣ, сочиненіе Брука Тэйлора оказалось полезнымъ перевести на итальянскій языкъ.
Наконецъ, упомянемъ о сочиненіи Ламберта (Lambert), напечатанномъ въ Цюрихѣ на нѣмецкомъ языкѣ въ 1759—1774, а потомъ переведенномъ на французскій, въ которомъ авторъ старается при построеніи перспективы избѣгать выстраиванія горизонтальной проекціи (плана) даннаго предмета. Конечно, эта идея
не новая и ее можно встрѣтить у Вавлезара, Дезарга, Босса и нѣкоторыхъ другихъ.
Для опредѣленія направленія линій, идущихъ подъ данными углами, и для рѣшенія тому подобныхъ задачъ, Ламбертъ поль
зуется дѣленіемъ линіи горизонта соотвѣтственно тангенсамъ угловъ; для отысканія длины линій пользуется точкою схода хордъ и т. п. Онъ, между прочимъ, говоритъ, что кладетъ основа
ніе перспективной геометріи. Этимъ названіемъ воспользовались
впослѣдствіи Кузинери (Cousinery) и Дюфуръ (Dufour), но ихъ сочиненія относятся уже къ 3-му періоду историческаго развитія перспективы, какъ науки.
Для опредѣленія перспективы предмета, нѣкоторые писатели предлагали, вмѣсто графическаго пріема, пріемъ аналитическій; такъ, Лакайлъ въ сочиненіи своемъ, напечатанномъ въ 1750 году, выводитъ уравнія точки, выражающей перспективу данной, при чемъ координаты первой выражены, какъ функція координатъ второй и разстоянія точки зрѣнія до картинной плоскости. Опре
дѣляя разстояніе точки зрѣнія до картинной плоскости, Лакайль приходить къ уравненью 2-й степени, и т. п. Точно также и Костнеръ (Koestner) въ 1752 году употребляетъ аналитическій методъ для рѣшенія различныхъ задачъ перспективы.
Относительно аналитическаго метода рѣшенія вопросовъ и задачъ перспективы можно замѣтить, что аналитическій и графи
ческій способы рѣшеній имѣютъ свои границы, свои предѣлы. Можно привести множество случаевъ, въ которыхъ этотъ аналитическій методъ Декарта, это могучее средство, дѣлается безсиль
нымъ, какъ это замѣтилъ нашъ современный знаменитый геометръ Шалъ (Châles) въ своемъ «Aperçu historique du développement des méthodes en geometries Практическое примѣненіе теоріи перспек
тивы требуетъ графическаго рѣшенія: начертанія перспективнаго из
ображенія, слѣдовательно, и при аналитическомъ способѣ, все-таки,
вопросъ будетъ сведенъ къ вычерчиванію, говоря вообще, кривыхъ линій, у которыхъ точки выстраиваются по координатамъ, опредѣ
леннымъ изъ уравненій. Простота уравненій зависитъ отъ выбора осей координатъ, которыхъ положеніе, въ свою очередь, зависитъ отъ рода поверхности, а при построеніи перспективы приходится выбирать одну общую систему осей координатъ для цѣлой ком
бинаціи данныхъ геометрическихъ поверхностей, а потому и можно въ такомъ случаѣ встрѣтиться съ весьма сложными уравненіями и ихъ неудобными для практики рѣшеніями. Вслѣдствіе всего сказаннаго и всѣ попытки приложить методы аналитической гео
метріи къ теоріи перспективы остались безплодными, не говоря уже о тѣхъ случаяхъ, когда въ предложенныхъ задачахъ будутъ встрѣчаться поверхности и линіи, не выражаемыя уравненіями.
Въ заключеніе объ этомъ второмъ періодѣ развитія перспективы, какъ науки, надо замѣтить, что всѣ писатели преимущественно обращали вниманіе на рѣшеніе задачи о построеніи перспективы отдѣльной точки и прямой линіи; построеніе же перспективы видимаго очерка даннаго тѣла сводилось къ построенію обертываю
щей линіи къ построеннымъ перспективамъ различныхъ линій, находящихся или начерченныхъ на поверхности даннаго тѣла.
Развитіе перспективы зависѣло, какъ уже замѣтили выше, и
отъ развитія математическихъ наукъ. Эйлеръ напечаталъ свой мемуаръ объ обертывающихъ развертывающихся поверхностей, но не далъ въ немъ построенія кривой прикосновенія такого рода по
верхностей къ ихъ обертываемымъ; рѣшеніе такой важной задачи
для перспективы принадлежитъ французскому геометру Гаспару Монжъ (Monge), создавшему начертательную геометрію. Значеніе рѣшенія такой задачи можно объяснить и на слѣдующемъ при
мѣрѣ: ежели требуется построить перспективу даннаго шара опре
дѣленнаго радіуса при данной точкѣ зрѣнія, то обертывающей поверхностію будетъ поверхность конуса вращенія, у котораго вер
шина находится въ данной точкѣ зрѣнія, а линія прикосновенія будетъ окружность. Эту то окружность и надо опредѣлить, т. е. опредѣлить ея плоскость, положеніе центра и величину радіуса, а затѣмъ опредѣлить ея перспективу, которая и будетъ перспек
тивою даннаго шара. Конечно, такая линія прикосновенія или кри
вая видимаго обвода при нѣкоторыхъ частныхъ формахъ даннаго тѣла опредѣляется безъ особенныхъ вспомогательныхъ построеній, а потому и построеніе перспективы такого тѣла не представляетъ затрудненій. Такъ, напримѣръ, при построеніи перспективы даннаго куба (фиг. 29) или другого какого нибудь многогранника при дан
номъ положеніи точки зрѣнія V, легко было замѣтить, что косой многоугольникъ ABCDEFA служитъ ему видимымъ обводомъ, а построеніе его перспективы можетъ быть сведено къ построенію перспективы его реберъ, какъ прямолинейныхъ отрѣзковъ. При по
строеніи перспективы даннаго цилиндра вращенія, уже рѣшеніе задачи усложняется, потому что его ребра AF и СЕ (фиг. 30), принадлежащіе къ линіи видимаго обвода EDFABCE, не совпа
даютъ съ ребрами тп и kl, лежащими въ плоскости, проходящей черезъ ось оо, даннаго цилиндра: положеніе этихъ реберъ AF и СЕ не дано, хотя сказанный цилиндръ и опредѣленъ при заданіи и по положенію, и по величинѣ. Ежели эти ребра и дуги EDF и АВС будутъ опредѣлены, то построеніе перспективы даннаго ци
линдра будетъ сведено къ построенію перспективы сказанныхъ реберъ и дугъ.
Монжъ для рѣшеній графическимъ путемъ подобнаго рода задачъ воспользовался методомъ ортогональныхъ проекцій, который и положилъ въ основаніе своей начертательной геометріи. Рѣше
нія геометрическихъ задачъ графически, основываясь на методѣ ортогональнаго проектированія, можно встрѣтить и до Монжа. Такъ, въ сочиненіи объ архитектурѣ Филибера Делорма (Philiber de l’Orme), напечатанномъ въ 1567 году въ отдѣлѣ о разрѣзкѣ камней, встрѣчается собраніе такого рода рѣшеній, но они не сопровождаются соотвѣтствующими теоретическими доказательствами.
Геометрическія доказательства сказанныхъ рѣшеній встрѣчаются гораздо позже у Дешаля (de Châles или Dechales) въ его курсѣ математики, напечатанномъ въ 1672 году, въ которомъ говорится и о разрѣзкѣ камней, и потомъ у французскаго военнаго инженера Фрезье, напечатанномъ въ 1737 и 1739 годахъ подъ загла
віемъ: La théorie et la pratique de coupe de pierres et de bois
pour la construction des voûtes et d’autres articles de batimens civiles et militaires, ou Traité de stéréotomie a l’usage de l’architectes», Но и Фрезье не создалъ общей теоріи метода проекцій и эта честь вполнѣ принадлежитъ Гаспару Монжу. Надо, однако,
замѣтить, что Монжъ, будучи профессоромъ мезьерской инженерной школы, хотя и излагалъ своимъ слушателямъ и будущимъ французскимъ инженерамъ свой методъ рѣшенія геометрическихъ за
дачъ, но не имѣлъ права его опубликовать. Его методъ сдѣлался всеобщимъ достояніемъ только съ основанія первой нормальной школы во Франціи, въ концѣ XVIII столѣтія, куда онъ былъ приглашенъ профессоромъ, и напечаталъ свою начертательную гео
метрію (Geometrie descriptve). Монжъ хотя и не написалъ курса перспективы, а составилъ только весьма интересную записку по этому предмету, но какъ онъ далъ общую теорію рѣшеній геоме
трическихъ задачъ графическимъ путемъ на основаніи метода ортогональнаго проектированія, и въ томъ числѣ построеніе кри
вой прикосновенія обертывающей поверхности къ обертываемой, то поэтому и можно сказать, что съ появленіемъ начертательной геометріи Монжа начинается третій періодъ развитія перспективы, какъ науки.
Послѣдующіе писатели, принимая перспективу какъ коническую проэкцію даннаго предмета на какую нибудь плоскость и назы
вая ее то полярною проекціею, то центральною, разрабатывали тотъ или другой частный вопросъ перспективы, упрощали то или другое исполнительное построеніе перспективнаго изображенія. Такъ въ со
чиненіи Лавита (Lavit): «Traité de perspective» (1804) находимъ линію удаленія пораллельныхъ плоскостей (les lignes de fuite des plans parallèles), имѣющихъ одинаковое значеніе съ точками схода