ніи должны были-бы изобразиться криволинейно, что затруднилобы, какъ построеніе ихъ и пользованіе ими, такъ и лишило-бы таблицу нѣкоторой доли вѣрности. Для избѣжанія этого, такъ сказать, фонъ таблицы приготовленъ такимъ образомъ, что ординаты наклонныхъ линій въ цифровомъ отношеніи представляютъ собою ординаты параболической кривой третьей степени, а въ графическомъ отношеніи — ординаты прямой линіи. Построеніе вер
тикальнаго масштаба, удовлетворяющаго такому условію, возможно чисто графическимъ путемъ, а именно: начертивъ по ка
кому угодно масштабу у-овъ отъ начала О. кривую по уравненію у = Х^3 (представляющему типъ уравненія нашего
въ которомъ
отброшенъ,
какъ постоянное, неимѣющее вліянія па свойство кривой, а только на направленіе, для насъ безразличное), при
нимая для X установленный уже горизонтальный мас
штабъ, — возьмемъ ординаты кривой b_1 А, b_2 В, b_3 С....,
продолжаемъ ординаты до пересѣченія съ прямой Oа_4 въ точкахъ a_1, а_2, а_3 и т. д. Новыя ординаты А_0 0,
В_0 О, С_0 0.... опредѣлятъ точки дѣленій вертикаль
наго масштаба; цифровыя-же значенія останутся неизмѣнными,
выражая величины A_1 O_1, B_1 O_1, С_1 O_1 и т. д. Но такой способъ далеко не гарантируетъ вѣрности результатовъ построенія и, для подготовленія вертикальнаго масштаба, неизбѣжно обратиться къ вычисленіямъ. Зависимость между цифровымъ значеніемъ ординатъ
ОА_0, ОВ_0, ОС_0 и т.д. и ихъ линейной величиною О_1 А_1, Ο_1 Β_1, O_1 C_1.... вытекаетъ изъ соединенія основныхъ уравненій кривой и прямой линій; уравненія эти слѣдующія: у = х^3 (для кривой) и У = х (для прямой); абсциссы X для обоихъ уравненій однѣ и тѣ-же.
Для того, чтобы, при графическомъ построеніи, кривая OABCD направилась по прямой линіи Оа_4 необходимо цифровыя значенія ординатъ у кривой ввести въ линейныя (графическія) значенія ординатъ У прямой. Такимъ образомъ получится
— промежуточныя дѣленія
будутъ получаться изъ уравненія (b) подстановкою въ это уравненіе какихъ угодно цифровыхъ значеній у. Масштабомъ-же для соотвѣтственныхъ графическихъ значеній У будетъ служить линія OD_0. раздѣленная на У число частей, выведенное для величины ОD_0. Слѣдуя только что изложенному, предлагаемая таблица была построена слѣдующимъ образомъ.
Приняты: наибольшая высота балокъ въ 20 дюймовъ и крайнія отношенія ширины сѣченія балокъ къ высотѣ въ 2/1 и 1/4.
Выборъ величины линіи AB (см. таблицу) вертикальнаго масштаба съ наибольшимъ цифровымъ значеніемъ величины
[*)] Ближайшій къ данной цифрѣ 700 кубъ цѣлаго числа. Это необходимо, какъ увидимъ далѣе, для простоты построенія масштаба.
Возьмемъ для дѣленія 729 точку С вертикальнаго масштаба и, откладывая на горизонтальной линіи, соотвѣтствующей этой точкѣ, величину 12,978 по масштабу высотъ балокъ, получимъ точку, чрезъ которую пройдетъ линія 2/1.
Для означенія промежуточныхъ дѣленій вертикальнаго масштаба между О и 729 будетъ служить, какъ выше сказано, уравненіе
Подставляя въ него вмѣсто у желаемыя цифры дѣленій, будемъ получать соотвѣтствующія У, означающія мѣста этихъ, дѣленій, выражаемыя масштабомъ АО, раздѣленнымъ на 9 частей, такъ какъ при у = 729 получится Y — 9 = АС.
Такимъ образомъ, для полученія вспомогательнаго къ построенію масштаба, раздѣляемъ линію АС на 9 частей, десятичныяже доли девятой части линіи АС означимъ на поперечномъ масштабѣ AD.
Сдѣлавъ это, легко нанести какую угодно цифру дѣленій масштаба АС, соотвѣтствующую прямолинейному положенію линіи 2/1..............1/4. Такъ, напримѣръ, для дѣленія 700, по уравненію
откладывая отъ точки 8 (на линіи АС) вели
чину 0,879, взятую на поперечномъ масштабѣ, — получимъ точку В, противъ которой будетъ соотвѣтственное дѣленіе 700 искомаго масштаба, и т. д. Чѣмъ болѣе будетъ нанесено цифръ дѣленія вертикальнаго масштаба, тѣмъ, конечно, полнѣе и точнѣе получатся для употребленія таблицы.
На данной таблицѣ нанесены 100 цифръ дѣленій, взятыхъ такимъ образомъ, чтобы разстоянія дѣленій были, по возможности, равномѣрнѣе. Выпишимъ графическія ординаты для построенія
этихъ дѣленій согласно уравненію
[☛]
I/n = 700
обусловливается тѣмъ обстоятельствомъ, чтобы система прямыхъ линій 2/1, 3/2 ... . 1/4 представляла удобное положеніе, направляясь своею срединою къ верхнему правому углу таблицы.
Задаваясь какою либо предѣльною графическою величиною D_0 O и цифровымъ значеніемъ ея, представляющимъ собою величину I/n
выведенную изъ зависимости ея съ ординатою О b_4 (т. е. h) по вышеуказанному уравненію
коэфиціентъ 1/6m
тикальнаго масштаба, удовлетворяющаго такому условію, возможно чисто графическимъ путемъ, а именно: начертивъ по ка
кому угодно масштабу у-овъ отъ начала О. кривую по уравненію у = Х^3 (представляющему типъ уравненія нашего
Чер.3.
въ которомъ
отброшенъ,
какъ постоянное, неимѣющее вліянія па свойство кривой, а только на направленіе, для насъ безразличное), при
нимая для X установленный уже горизонтальный мас
штабъ, — возьмемъ ординаты кривой b_1 А, b_2 В, b_3 С....,
продолжаемъ ординаты до пересѣченія съ прямой Oа_4 въ точкахъ a_1, а_2, а_3 и т. д. Новыя ординаты А_0 0,
В_0 О, С_0 0.... опредѣлятъ точки дѣленій вертикаль
наго масштаба; цифровыя-же значенія останутся неизмѣнными,
выражая величины A_1 O_1, B_1 O_1, С_1 O_1 и т. д. Но такой способъ далеко не гарантируетъ вѣрности результатовъ построенія и, для подготовленія вертикальнаго масштаба, неизбѣжно обратиться къ вычисленіямъ. Зависимость между цифровымъ значеніемъ ординатъ
ОА_0, ОВ_0, ОС_0 и т.д. и ихъ линейной величиною О_1 А_1, Ο_1 Β_1, O_1 C_1.... вытекаетъ изъ соединенія основныхъ уравненій кривой и прямой линій; уравненія эти слѣдующія: у = х^3 (для кривой) и У = х (для прямой); абсциссы X для обоихъ уравненій однѣ и тѣ-же.
Для того, чтобы, при графическомъ построеніи, кривая OABCD направилась по прямой линіи Оа_4 необходимо цифровыя значенія ординатъ у кривой ввести въ линейныя (графическія) значенія ординатъ У прямой. Такимъ образомъ получится
— промежуточныя дѣленія
будутъ получаться изъ уравненія (b) подстановкою въ это уравненіе какихъ угодно цифровыхъ значеній у. Масштабомъ-же для соотвѣтственныхъ графическихъ значеній У будетъ служить линія OD_0. раздѣленная на У число частей, выведенное для величины ОD_0. Слѣдуя только что изложенному, предлагаемая таблица была построена слѣдующимъ образомъ.
Приняты: наибольшая высота балокъ въ 20 дюймовъ и крайнія отношенія ширины сѣченія балокъ къ высотѣ въ 2/1 и 1/4.
Выборъ величины линіи AB (см. таблицу) вертикальнаго масштаба съ наибольшимъ цифровымъ значеніемъ величины
[*)] Ближайшій къ данной цифрѣ 700 кубъ цѣлаго числа. Это необходимо, какъ увидимъ далѣе, для простоты построенія масштаба.
Возьмемъ для дѣленія 729 точку С вертикальнаго масштаба и, откладывая на горизонтальной линіи, соотвѣтствующей этой точкѣ, величину 12,978 по масштабу высотъ балокъ, получимъ точку, чрезъ которую пройдетъ линія 2/1.
Для означенія промежуточныхъ дѣленій вертикальнаго масштаба между О и 729 будетъ служить, какъ выше сказано, уравненіе
Подставляя въ него вмѣсто у желаемыя цифры дѣленій, будемъ получать соотвѣтствующія У, означающія мѣста этихъ, дѣленій, выражаемыя масштабомъ АО, раздѣленнымъ на 9 частей, такъ какъ при у = 729 получится Y — 9 = АС.
Такимъ образомъ, для полученія вспомогательнаго къ построенію масштаба, раздѣляемъ линію АС на 9 частей, десятичныяже доли девятой части линіи АС означимъ на поперечномъ масштабѣ AD.
Сдѣлавъ это, легко нанести какую угодно цифру дѣленій масштаба АС, соотвѣтствующую прямолинейному положенію линіи 2/1..............1/4. Такъ, напримѣръ, для дѣленія 700, по уравненію
откладывая отъ точки 8 (на линіи АС) вели
чину 0,879, взятую на поперечномъ масштабѣ, — получимъ точку В, противъ которой будетъ соотвѣтственное дѣленіе 700 искомаго масштаба, и т. д. Чѣмъ болѣе будетъ нанесено цифръ дѣленія вертикальнаго масштаба, тѣмъ, конечно, полнѣе и точнѣе получатся для употребленія таблицы.
На данной таблицѣ нанесены 100 цифръ дѣленій, взятыхъ такимъ образомъ, чтобы разстоянія дѣленій были, по возможности, равномѣрнѣе. Выпишимъ графическія ординаты для построенія
этихъ дѣленій согласно уравненію
[☛]
I/n = 700
обусловливается тѣмъ обстоятельствомъ, чтобы система прямыхъ линій 2/1, 3/2 ... . 1/4 представляла удобное положеніе, направляясь своею срединою къ верхнему правому углу таблицы.
Задаваясь какою либо предѣльною графическою величиною D_0 O и цифровымъ значеніемъ ея, представляющимъ собою величину I/n
выведенную изъ зависимости ея съ ординатою О b_4 (т. е. h) по вышеуказанному уравненію
коэфиціентъ 1/6m