дены три уравненія, то слѣдовательно для п узловъ будетъ существовать 3 п уравненій. Неизвѣстныя суть т напряженій въ брусьяхъ и 3 а — въ опорахъ, такъ какъ давленіе опоры, неизвѣстное ни
по величинѣ, ни по направленію, можетъ быть опредѣлено лишь помощью трехъ уравненій. Конечно, эта формула показываетъ лишь статическую опредѣленность фермы, а вовсе не ея устойчи
вость. Наконецъ, уравненія должны быть возможны для рѣшенія и не давать при этомъ безконечныхъ или мнимыхъ величинъ.
Эти разсужденія указываютъ путь разсчета для каждой устойчивой системы; слѣдуетъ лишь составить 3 п уравненій и найти изъ нихъ такое же число неизвѣстныхъ. Къ сожалѣнію, способъ этотъ на практикѣ былъ бы слишкомъ сложенъ. Куполъ Шведлера съ 24 стропильными ногами и 4 кольцами имѣетъ напр. 4.24=96 узловыхъ точекъ; прибавляя сюда вершину, получимъ 97 узловъ и слѣдовательно 3.97 = 291 уравненіе. При этомъ никакая часть уравненій не можетъ быть отдѣлена для опредѣленія своихъ неиз
вѣстныхъ, но всѣ они должны войти въ ту окончательную формулу,
которая будетъ содержать наконецъ одну лишь неизвѣстную, такъ что получаемыя выраженія невѣроятно длинны. Этимъ, вѣроятно, и объясняется, почему Фёппль въ дальнѣйшихъ изслѣдованіяхъ своихъ отказался отъ этого, имъ-же указаннаго пути и избралъ другой, весьма интересный способъ, предположивъ, что система оканчивается не остріемъ, но внутреннимъ кольцомъ.
Ясно, что, напр., усилія, дѣйствующія на брусья 1 и 2 поля А (фиг. 6 см. прил.) не могутъ уравновѣситься соотвѣтствующими усиліями въ брусьяхъ смежнаго поля B, такъ какъ оба поля лежатъ въ различ
ныхъ плоскостяхъ и для такого уравновѣшенія необходима еще опредѣленная внѣшняя сила въ общемъ для нихъ узлѣ I внутрен
няго кольца, или показанный пунктиромъ брусъ 3, ведущій къ вершинѣ или къ слѣдующему кольцу. Поэтому внутреннее кольцо,
безъ опредѣленныхъ внѣшнихъ силъ, дѣйствующихъ въ его узлахъ,
не можетъ передавать усилій, и внѣшнія силы, приложенныя къ какому либо изъ его узловъ, должны разлагаться на составляющія, ведущія кратчайшимъ путемъ къ неподвижнымъ опорамъ.
Такъ какъ подробное изложеніе способъ Фёппля завело бы насъ слишкомъ далеко, то мы и ограничимся лишь его существенными результатами.
Что система безъ вершины будетъ устойчива, если ея опоры неподвижны, можно доказать еще слѣдующимъ простымъ разсуж
деніемъ: если мы будемъ разсматривать какой либо узелъ кольца (чер. 6 см. прил. ), ближайшаго къ опорамъ (при неподвижности
послѣднихъ опорное кольцо не нужно), то мы видимъ, что онъ связанъ тремя неизмѣнными брусьями съ тремя ближайшими опорными точками, почему данный узелъ, а слѣдовательно и все соотвѣтствующее кольцо будутъ неподвижны. Узлы слѣдующаго кольца точно такимъ-же образомъ связаны съ узлами предыдущаго, а слѣдовательно и вся система будетъ устойчива.
На упомянутой фиг. 6 напряженія опредѣлены для сосредоточеннаго груза Р=1, брусья имѣютъ ширину, соотвѣтственную ихъ напряженіямъ. Здѣсь, какъ и въ прочихъ рисункахъ, части подверженныя сжатію, заштрихованы поперечными линіями.
Вертикальная проекція конструкціи сходна съ изображенной на фиг. 1 (см. прил.), лишь за исключеніемъ вершины. Опредѣ
леніе усилій показано ниже; оно проще, чѣмъ по способу Фёппля, и результаты обоихъ согласны.
Мы видимъ, что въ этомъ случаѣ лишь относительно немногія части подвергаются напряженіямъ, но зато величина послѣднихъ весьма велика, а именно до 27,75 P, потому что система эта не имѣетъ свойствъ свода, такъ какъ, какъ было уже замѣчено ранѣе, внутреннее кольцо не передаетъ никакихъ усилій.
струкціи подобномъ Шведлеровскому, но съ неподвижными опо
рами, въ томъ случаѣ, когда одинъ брусъ испытываетъ наибольшую нагрузку, а прочіе совершенно не нагружены, возникаютъ напря
женія, въ 600 слишкомъ разъ превосходящія результаты разсчета Шведлера для наибольшей нагрузки.
Конструкціи Шведлера имѣютъ не неподвижныя, но радіально движущіяся опоры. Для подобныхъ системъ замѣчательно то, что онѣ устойчивы, когда число сторонъ основанія нечетное и, наобо
ротъ, неустойчивы, когда это число четное, предполагая въ обоихъ случаяхъ за основаніе правильный многоугольникъ.
Если опоры подвижны, то должно существовать нижнее (опорное) кольцо; тогда въ точкахъ опоръ возникаютъ вертикальныя давленія опоръ и кольцевыя напряженія, и, какъ видно изъ фиг. 6 прил. , при правильности плана, эти послѣднія симметрично располагаются относительно нагруженнаго узла.
При существованіи въ опорахъ радіальныхъ направляющихъ, слѣдуетъ предполагать въ опорахъ силы, перпендикулярныя къ этимъ направляющимъ (чер. 3, в.), препятствующія движенію опоръ въ направленіи вышеупомянутыхъ силъ. Если мы представимъ себѣ систему, имѣющую основаніемъ квадратъ 1 2 8 4 (чер. 3) и предположимъ, что оба кольпевыхъ усилія а расположены
симметрично относительно узла 1, то, при отсутствіи вершины, равновѣсіе будетъ существовать лишь тогда, если кольцевыя на
пряженія аа уничтожаются напряженіями остальныхъ частей нижняго кольца и силами Ъ въ опорахъ; если же для ихъ уничтоженія необходимо должны существовать усилія въ другихъ брусьяхъ, то составляющія этихъ усилій непремѣнно передадутся внутреннему кольцу — или прямо, или въ случаѣ существованія промежуточ
ныхъ колецъ — черезъ эти послѣднія. А уже доказано, что внутреннее кольцо не можетъ служить для передачи усилій, а слѣдовательно оно не создаетъ и равновѣсія.
На чер. 3 силы а вызываютъ усилія а и Ъ. Построивъ, какъ будетъ показано ниже, треугольники силъ, найдемъ что а = а и далѣе, что между узлами 1 и 3 дѣйствуютъ двѣ одинаковыя по величинѣ и направленію силы а , которыя, слѣдовательно, не могутъ взаимно уничтожиться. Слѣдовательно, равновѣсія существовать не будетъ, хотя мы можемъ здѣсь примѣнить положеніе Фёппля, а слѣдовательно система статически опредѣленна. Легко убѣдиться, что сказанное относится ко всѣмъ многоугольникамъ четнаго числа сторонъ при всякомъ числѣ послѣднихъ.
Наоборотъ, если число сторонъ нечетное (чер. 4) то, разлагая силы точно также, какъ и выше, получимъ окончательно въ нѣко
торой части кольца — въ данномъ случаѣ между узлами 2 и 3 — равныя и противуположныя силы а , взаимно уничтожающіяся. Точно также легко убѣдиться, что это положеніе справедливо для всѣхъ правильныхъ многоугольниковъ произвольнаго нечетнаго числа сторонъ.
Слѣдовательно, системы, имѣющія въ планѣ подобный многоугольникъ, будутъ устойчивыми и притомъ статически опредѣленными; тѣмъ не менѣе, какъ мы увидимъ впослѣдствіи, онѣ испы
тываютъ при отсутствіи вершины весьма большія напряженія. При - мѣняя приведенныя разсужденія къ конструкціямъ фермъ Шведлера, построенныхъ имъ надъ газгольдерами, найдемъ, что эти кон
струкціи не устойчивы для случая односторонней нагрузки; тѣмъ не менѣе онѣ въ дѣйствительности оказались прекрасными. Это кажущееся противорѣчіе объясняется тѣмъ, что брусья фермъ сое
лагается при разсчетѣ. При этомъ внутреннее кольцо становится неизмѣняемымъ и, хотя сопротивленіе, которое оно можетъ оказы
вать усиліямъ, стремящимся измѣнить его форму, и не особенно велико, тѣмъ не менѣе, какъ мы увидимъ далѣе, даже небольшія
величины сопротивленія близь вершины препятствуютъ образованію большихъ напряженій въ нижнихъ частяхъ купола. Неизмѣняемость
внутренняго кольца еще поддерживается глухими соединеніями съ узловыми точками прочихъ колецъ и въ особенности, на что уже
Чep. 3.
Чер. 4.
по величинѣ, ни по направленію, можетъ быть опредѣлено лишь помощью трехъ уравненій. Конечно, эта формула показываетъ лишь статическую опредѣленность фермы, а вовсе не ея устойчи
вость. Наконецъ, уравненія должны быть возможны для рѣшенія и не давать при этомъ безконечныхъ или мнимыхъ величинъ.
Эти разсужденія указываютъ путь разсчета для каждой устойчивой системы; слѣдуетъ лишь составить 3 п уравненій и найти изъ нихъ такое же число неизвѣстныхъ. Къ сожалѣнію, способъ этотъ на практикѣ былъ бы слишкомъ сложенъ. Куполъ Шведлера съ 24 стропильными ногами и 4 кольцами имѣетъ напр. 4.24=96 узловыхъ точекъ; прибавляя сюда вершину, получимъ 97 узловъ и слѣдовательно 3.97 = 291 уравненіе. При этомъ никакая часть уравненій не можетъ быть отдѣлена для опредѣленія своихъ неиз
вѣстныхъ, но всѣ они должны войти въ ту окончательную формулу,
которая будетъ содержать наконецъ одну лишь неизвѣстную, такъ что получаемыя выраженія невѣроятно длинны. Этимъ, вѣроятно, и объясняется, почему Фёппль въ дальнѣйшихъ изслѣдованіяхъ своихъ отказался отъ этого, имъ-же указаннаго пути и избралъ другой, весьма интересный способъ, предположивъ, что система оканчивается не остріемъ, но внутреннимъ кольцомъ.
Ясно, что, напр., усилія, дѣйствующія на брусья 1 и 2 поля А (фиг. 6 см. прил.) не могутъ уравновѣситься соотвѣтствующими усиліями въ брусьяхъ смежнаго поля B, такъ какъ оба поля лежатъ въ различ
ныхъ плоскостяхъ и для такого уравновѣшенія необходима еще опредѣленная внѣшняя сила въ общемъ для нихъ узлѣ I внутрен
няго кольца, или показанный пунктиромъ брусъ 3, ведущій къ вершинѣ или къ слѣдующему кольцу. Поэтому внутреннее кольцо,
безъ опредѣленныхъ внѣшнихъ силъ, дѣйствующихъ въ его узлахъ,
не можетъ передавать усилій, и внѣшнія силы, приложенныя къ какому либо изъ его узловъ, должны разлагаться на составляющія, ведущія кратчайшимъ путемъ къ неподвижнымъ опорамъ.
Такъ какъ подробное изложеніе способъ Фёппля завело бы насъ слишкомъ далеко, то мы и ограничимся лишь его существенными результатами.
Что система безъ вершины будетъ устойчива, если ея опоры неподвижны, можно доказать еще слѣдующимъ простымъ разсуж
деніемъ: если мы будемъ разсматривать какой либо узелъ кольца (чер. 6 см. прил. ), ближайшаго къ опорамъ (при неподвижности
послѣднихъ опорное кольцо не нужно), то мы видимъ, что онъ связанъ тремя неизмѣнными брусьями съ тремя ближайшими опорными точками, почему данный узелъ, а слѣдовательно и все соотвѣтствующее кольцо будутъ неподвижны. Узлы слѣдующаго кольца точно такимъ-же образомъ связаны съ узлами предыдущаго, а слѣдовательно и вся система будетъ устойчива.
На упомянутой фиг. 6 напряженія опредѣлены для сосредоточеннаго груза Р=1, брусья имѣютъ ширину, соотвѣтственную ихъ напряженіямъ. Здѣсь, какъ и въ прочихъ рисункахъ, части подверженныя сжатію, заштрихованы поперечными линіями.
Вертикальная проекція конструкціи сходна съ изображенной на фиг. 1 (см. прил.), лишь за исключеніемъ вершины. Опредѣ
леніе усилій показано ниже; оно проще, чѣмъ по способу Фёппля, и результаты обоихъ согласны.
Мы видимъ, что въ этомъ случаѣ лишь относительно немногія части подвергаются напряженіямъ, но зато величина послѣднихъ весьма велика, а именно до 27,75 P, потому что система эта не имѣетъ свойствъ свода, такъ какъ, какъ было уже замѣчено ранѣе, внутреннее кольцо не передаетъ никакихъ усилій.
Въ дальнѣйшемъ мы увидимъ, что напр. въ 24-стороннемъ каркасѣ (сходномъ съ фиг. 7 прилож., но безъ вершины), по кон
струкціи подобномъ Шведлеровскому, но съ неподвижными опо
рами, въ томъ случаѣ, когда одинъ брусъ испытываетъ наибольшую нагрузку, а прочіе совершенно не нагружены, возникаютъ напря
женія, въ 600 слишкомъ разъ превосходящія результаты разсчета Шведлера для наибольшей нагрузки.
Конструкціи Шведлера имѣютъ не неподвижныя, но радіально движущіяся опоры. Для подобныхъ системъ замѣчательно то, что онѣ устойчивы, когда число сторонъ основанія нечетное и, наобо
ротъ, неустойчивы, когда это число четное, предполагая въ обоихъ случаяхъ за основаніе правильный многоугольникъ.
Если опоры подвижны, то должно существовать нижнее (опорное) кольцо; тогда въ точкахъ опоръ возникаютъ вертикальныя давленія опоръ и кольцевыя напряженія, и, какъ видно изъ фиг. 6 прил. , при правильности плана, эти послѣднія симметрично располагаются относительно нагруженнаго узла.
При существованіи въ опорахъ радіальныхъ направляющихъ, слѣдуетъ предполагать въ опорахъ силы, перпендикулярныя къ этимъ направляющимъ (чер. 3, в.), препятствующія движенію опоръ въ направленіи вышеупомянутыхъ силъ. Если мы представимъ себѣ систему, имѣющую основаніемъ квадратъ 1 2 8 4 (чер. 3) и предположимъ, что оба кольпевыхъ усилія а расположены
симметрично относительно узла 1, то, при отсутствіи вершины, равновѣсіе будетъ существовать лишь тогда, если кольцевыя на
пряженія аа уничтожаются напряженіями остальныхъ частей нижняго кольца и силами Ъ въ опорахъ; если же для ихъ уничтоженія необходимо должны существовать усилія въ другихъ брусьяхъ, то составляющія этихъ усилій непремѣнно передадутся внутреннему кольцу — или прямо, или въ случаѣ существованія промежуточ
ныхъ колецъ — черезъ эти послѣднія. А уже доказано, что внутреннее кольцо не можетъ служить для передачи усилій, а слѣдовательно оно не создаетъ и равновѣсія.
На чер. 3 силы а вызываютъ усилія а и Ъ. Построивъ, какъ будетъ показано ниже, треугольники силъ, найдемъ что а = а и далѣе, что между узлами 1 и 3 дѣйствуютъ двѣ одинаковыя по величинѣ и направленію силы а , которыя, слѣдовательно, не могутъ взаимно уничтожиться. Слѣдовательно, равновѣсія существовать не будетъ, хотя мы можемъ здѣсь примѣнить положеніе Фёппля, а слѣдовательно система статически опредѣленна. Легко убѣдиться, что сказанное относится ко всѣмъ многоугольникамъ четнаго числа сторонъ при всякомъ числѣ послѣднихъ.
Наоборотъ, если число сторонъ нечетное (чер. 4) то, разлагая силы точно также, какъ и выше, получимъ окончательно въ нѣко
торой части кольца — въ данномъ случаѣ между узлами 2 и 3 — равныя и противуположныя силы а , взаимно уничтожающіяся. Точно также легко убѣдиться, что это положеніе справедливо для всѣхъ правильныхъ многоугольниковъ произвольнаго нечетнаго числа сторонъ.
Слѣдовательно, системы, имѣющія въ планѣ подобный многоугольникъ, будутъ устойчивыми и притомъ статически опредѣленными; тѣмъ не менѣе, какъ мы увидимъ впослѣдствіи, онѣ испы
тываютъ при отсутствіи вершины весьма большія напряженія. При - мѣняя приведенныя разсужденія къ конструкціямъ фермъ Шведлера, построенныхъ имъ надъ газгольдерами, найдемъ, что эти кон
струкціи не устойчивы для случая односторонней нагрузки; тѣмъ не менѣе онѣ въ дѣйствительности оказались прекрасными. Это кажущееся противорѣчіе объясняется тѣмъ, что брусья фермъ сое
динены между собой не посредствомъ шарнировъ, какъ это предпо
лагается при разсчетѣ. При этомъ внутреннее кольцо становится неизмѣняемымъ и, хотя сопротивленіе, которое оно можетъ оказы
вать усиліямъ, стремящимся измѣнить его форму, и не особенно велико, тѣмъ не менѣе, какъ мы увидимъ далѣе, даже небольшія
величины сопротивленія близь вершины препятствуютъ образованію большихъ напряженій въ нижнихъ частяхъ купола. Неизмѣняемость
внутренняго кольца еще поддерживается глухими соединеніями съ узловыми точками прочихъ колецъ и въ особенности, на что уже
Чep. 3.
Чер. 4.