положеній, могущихъ совершенно измѣнить степень точности выводовъ.
Пріемъ Ландсберга въ этомъ случаѣ, какъ мы уже сказали, интересенъ во-первыхъ по характеру дѣлаемыхъ имъ заранѣе до
пущеній, а во вторыхъ по нѣкоторымъ особенностямъ, чрезвычайно упрощающимъ конечные выводы, безъ особаго ущерба ихъ точности.
Для опредѣленія внутреннихъ силъ, дѣйствующихъ въ сводѣ, необходимо прежде всего опредѣлить наружныя усиліи дѣйствующія на сводъ, а именно нагрузки и сопротивленія опоръ. Въ боль
шинствѣ случаевъ нагрузки даются заранѣе или же находятся по таблицамъ. Опредѣленіе сопротивленій опоръ сложнѣе.
Разсматривая сводъ произвольной кривизны (фиг. 1) [*)], мы видимъ, что каждая опора или пята передаетъ своду нѣкоторое количество усилій, равнодѣйствующая которыхъ и будетъ искомое сопротивленіе. Намъ пока не извѣстны ни его величина, ни направ
леніе. Слѣдовательно, здѣсь шесть неизвѣстныхъ: D, D_1, а, а_1, С и C_1 (если означить черезъ С и С_1 отстоянія точекъ А и В отъ срединъ опорныхъ плоскостей). Такъ какъ законы статики намъ даютъ только три уравненія равновѣсія, то очевидно, что рѣшеніе вопроса чисто статическимъ путемъ невозможно.
Возможность рѣшенія задачи является, если мы будемъ разсматривать сводъ какъ упругую арку, причемъ предположимъ, что при всякихъ деформаціяхъ, могущихъ произойти отъ дѣйствія нагрузокъ, какъ опоры, такъ и ближайшія къ нимъ части арки останутся неизмѣненными. Такое предположеніе, весьма близкое къ дѣйствительности и даетъ намъ недостающіе три уравненія.
Далѣе, мы увидимъ, что въ самомъ простомъ и наиболѣе часто встрѣчающемся разсчетномъ случаѣ, а именно, при существованіи
одной лишь неподвижной нагрузки, въ послѣднихъ уравненіяхъ не является необходимости. Предположимъ, что сопротивленія опоръ нами уже опредѣлены какимъ-либо образомъ по величинѣ, направленію и положенію.
Въ такомъ случае всѣ внѣшнія силы, дѣйствующія на сводъ, извѣстны и поэтому всѣ внѣшнія силы для какого-либо произволь
наго, взятаго нормально въ плоскости чертежа сѣченія II (фиг. 2) могутъ быть соединены по одну изъ его сторонъ въ одну равнодѣйствующую.
Разсматривая часть свода между лѣвою опорою и сѣченіемъ II, назовемъ такую равнодѣйствующую R. Для равновѣсія въ сѣченіи II должны дѣйствовать нѣкоторыя внутреннія силы, которыхъ рав
нодѣйствующая была бы равна и прямо противоположна силѣ R, имѣя общую съ нею точку приложенія; другими словами, найдя R,
мы знаемъ и равнодѣйствующую въ данномъ сѣченіи внутреннихъ силъ. Разлагаемъ силу R на двѣ, а именно—на составляющую Р, параллельную къ касательной къ средней линіи свода въ данномъ сѣченіи и на нормальную къ ней силу Q. Послѣдняя въ данномъ случаѣ не существенно важна; наоборотъ, чрезвычайно важно опре
дѣлить положеніе и величину силы Р. Сжимающія и вытягивающія усилія, вызываемыя послѣднею въ волокнахъ сѣченія могутъ быть здѣсь опредѣлены безъ особой погрѣшности, какъ для прямого бруса.
Поступая по общимъ правиламъ строительной механики, найдемъ, что усиліе N въ какомъ либо волокнѣ сѣченія, отстоящемъ на величину Z отъ его средины, будетъ
гдѣ М—моментъ внѣшнихъ силъ относительно точки О, т. е. точки пресѣченія средней кривой свода съ сѣченіемъ II; слѣдовательно здѣсь М=Р, такъ какъ Q не имѣетъ момента относительно О.
Положительныя значенія N соотвѣтствуютъ сжатію, отрицательныя—вытягиванію.
Особенно важна для опредѣленія N величина ξ или, что все равно, положеніе точки Е пересѣченія равнодѣйствующей R съ даннымъ сѣченіемъ.
Кривая, соединяющая подобныя точки различныхъ сѣченій, называется кривою давленія въ опорахъ. Различнымъ видамъ нагру
зонъ одного и того же свода соотвѣтствуютъ различныя равнодѣйствующія въ каждомъ сѣченіи, а слѣдовательно и различныя кривыя давленія въ опорахъ.
Раздѣляя сводъ на нѣсколько частей (фиг. 3), найдя сопротивленія опоръ (D и D_1) и нагрузки отдѣльныхъ частей (g_1 , g_2, g_3 . . . g_6) мы можемъ сложить сперва силы D и g_1 въ одну равнодѣйствующую, сложить эту послѣднюю съ g_2 и т. д. до противулежащей опоры, причемъ получится ломаная линія, называемая многоугольникомъ равнод. силъ. (О I II III IV VI f). Изъ послѣд
няго получается кривая давленія, если соединять между собою точки пересѣченія отдѣльныхъ равнодѣйствующихъ съ соотв. сѣче
ніями (1 2 3 4 5 6 7). Чѣмъ на большее число частей раздѣленъ сводъ, тѣмъ болѣе полученный многоугольникъ приближается къ плавной кривой, т. наз. веревочной кривой, которая въ данномъ случаѣ тождественна съ опорной кривой.
Форма многоугольника, также какъ и веревочной кривой независима отъ точекъ приложенія сопротивленій D и D_1 опоръ, такъ какъ перемѣстивъ силы D, не измѣняя ихъ величины и направле
нія вверхъ или внизъ, мы перемѣстимъ на ту же величину самый
многоугольникъ, который такимъ образомъ останется тождественъ, съ первоначальнымъ. Поэтому если, какъ это часто приходится, надо опредѣлить только форму веревочной кривой, но не ея на
правленіе, то остаются лишь 4 неизвѣстныхъ: D, D_1 , a и a_1, и задавшись одною изъ нихъ можно рѣшить вопросъ статическимъ путемъ.
На основаніи теоріи упругости сводовъ Винклеру удалось доказать [*)] слѣдующее, весьма важное, положеніе: при постоянномъ сѣченіи изъ всѣхъ статически возможныхъ кривыхъ давленія
наиболѣе вѣрною будетъ та, у которой сумма квадратовъ разстояній (или уклоненій) отъ средней кривой свода будетъ наименьшею.
Поэтому самая правильная кривая давленія должна совпадать съ среднею кривою свода.
Поэтому при проектированіи свода слѣдуетъ начертить сначала его среднюю кривую такимъ образомъ, чтобы она по возможности совпадала съ кривою давленія, опредѣленнаго при извѣстныхъ пред
положеніяхъ, т. е. при извѣстныхъ, данныхъ нагрузкахъ. Такъ какъ въ гражданской архитектурѣ своды по большей части исклю
чительно подвергаются постояннымъ, неподвижнымь нагрузкамъ, то слѣдовательно найденная кривая и вообще будетъ отвѣчать требованіямъ.
Далѣе мы увидимъ, что въ тѣхъ случаяхъ, когда точное опредѣленіе кривой давленія почему либо затруднительно, можно ограничиться извѣстными предѣлами ея положенія; а такъ какъ кривая давленія легко можетъ быть получена посредствомъ многоуголь
ника равнодѣйствующихъ, то и слѣдуетъ начинать съ построенія послѣдняго.
а) Веревочная кривая и многоугольникъ равнодѣйствующихъ.
Изъ даннаго нами понятія о веревочной кривой слѣдуетъ, что касательная къ ней во всякой ея точкѣ должна имѣть общее направленіе съ равнодѣйствующей въ этой точкѣ
Чтобы составить уравненіе веревочной кривой, разсмотримъ часть дуги свода, длиною = ds (фиг. 4). Предположимъ, что нагрузки вертикальны и составляютъ на единицу горизонтальной поверхно
сти q килогр., причемъ q вообще перемѣнно. Тогда на часть т о
дуги, длина которой ds, дѣйствуютъ три силы: грузъ qdx и обѣ касательныхъ силы Р и Р + d Р.
Подъ вліяніемъ этихъ трехъ силъ дуга находится въ равновѣсіи, такъ что мы можемъ написать
Производя умноженіе и пренебрегая безконечно-малыми втораго порядка, найдемъ, что
что Р cos τ есть величина постоянная. А вмѣстѣ съ тѣмъ Р cos τ есть горизонтальная составляющая напряженія дуги; обозначимъ ее черезъ Н:
Этимъ выражается слѣдующій законъ: при вертикальныхъ нагрузкахъ горизонтальная составляющая напряженій въ аркѣ (дугѣ) свода есть величина постоянная. Н называется горизонтальнымъ распоромъ.
Пріемъ Ландсберга въ этомъ случаѣ, какъ мы уже сказали, интересенъ во-первыхъ по характеру дѣлаемыхъ имъ заранѣе до
пущеній, а во вторыхъ по нѣкоторымъ особенностямъ, чрезвычайно упрощающимъ конечные выводы, безъ особаго ущерба ихъ точности.
Для опредѣленія внутреннихъ силъ, дѣйствующихъ въ сводѣ, необходимо прежде всего опредѣлить наружныя усиліи дѣйствующія на сводъ, а именно нагрузки и сопротивленія опоръ. Въ боль
шинствѣ случаевъ нагрузки даются заранѣе или же находятся по таблицамъ. Опредѣленіе сопротивленій опоръ сложнѣе.
Разсматривая сводъ произвольной кривизны (фиг. 1) [*)], мы видимъ, что каждая опора или пята передаетъ своду нѣкоторое количество усилій, равнодѣйствующая которыхъ и будетъ искомое сопротивленіе. Намъ пока не извѣстны ни его величина, ни направ
леніе. Слѣдовательно, здѣсь шесть неизвѣстныхъ: D, D_1, а, а_1, С и C_1 (если означить черезъ С и С_1 отстоянія точекъ А и В отъ срединъ опорныхъ плоскостей). Такъ какъ законы статики намъ даютъ только три уравненія равновѣсія, то очевидно, что рѣшеніе вопроса чисто статическимъ путемъ невозможно.
Возможность рѣшенія задачи является, если мы будемъ разсматривать сводъ какъ упругую арку, причемъ предположимъ, что при всякихъ деформаціяхъ, могущихъ произойти отъ дѣйствія нагрузокъ, какъ опоры, такъ и ближайшія къ нимъ части арки останутся неизмѣненными. Такое предположеніе, весьма близкое къ дѣйствительности и даетъ намъ недостающіе три уравненія.
Далѣе, мы увидимъ, что въ самомъ простомъ и наиболѣе часто встрѣчающемся разсчетномъ случаѣ, а именно, при существованіи
одной лишь неподвижной нагрузки, въ послѣднихъ уравненіяхъ не является необходимости. Предположимъ, что сопротивленія опоръ нами уже опредѣлены какимъ-либо образомъ по величинѣ, направленію и положенію.
Въ такомъ случае всѣ внѣшнія силы, дѣйствующія на сводъ, извѣстны и поэтому всѣ внѣшнія силы для какого-либо произволь
наго, взятаго нормально въ плоскости чертежа сѣченія II (фиг. 2) могутъ быть соединены по одну изъ его сторонъ въ одну равнодѣйствующую.
Разсматривая часть свода между лѣвою опорою и сѣченіемъ II, назовемъ такую равнодѣйствующую R. Для равновѣсія въ сѣченіи II должны дѣйствовать нѣкоторыя внутреннія силы, которыхъ рав
нодѣйствующая была бы равна и прямо противоположна силѣ R, имѣя общую съ нею точку приложенія; другими словами, найдя R,
мы знаемъ и равнодѣйствующую въ данномъ сѣченіи внутреннихъ силъ. Разлагаемъ силу R на двѣ, а именно—на составляющую Р, параллельную къ касательной къ средней линіи свода въ данномъ сѣченіи и на нормальную къ ней силу Q. Послѣдняя въ данномъ случаѣ не существенно важна; наоборотъ, чрезвычайно важно опре
дѣлить положеніе и величину силы Р. Сжимающія и вытягивающія усилія, вызываемыя послѣднею въ волокнахъ сѣченія могутъ быть здѣсь опредѣлены безъ особой погрѣшности, какъ для прямого бруса.
Поступая по общимъ правиламъ строительной механики, найдемъ, что усиліе N въ какомъ либо волокнѣ сѣченія, отстоящемъ на величину Z отъ его средины, будетъ
гдѣ М—моментъ внѣшнихъ силъ относительно точки О, т. е. точки пресѣченія средней кривой свода съ сѣченіемъ II; слѣдовательно здѣсь М=Р, такъ какъ Q не имѣетъ момента относительно О.
Положительныя значенія N соотвѣтствуютъ сжатію, отрицательныя—вытягиванію.
Особенно важна для опредѣленія N величина ξ или, что все равно, положеніе точки Е пересѣченія равнодѣйствующей R съ даннымъ сѣченіемъ.
Кривая, соединяющая подобныя точки различныхъ сѣченій, называется кривою давленія въ опорахъ. Различнымъ видамъ нагру
[*)] Здѣсь, какъ и во всѣхъ послѣдующихъ разсужденіяхъ, предполагается, что длина свода, т. е. его измѣреніе, перпендикулярное къ плоскоcти чертежа, равно единицѣ линейной мѣры, напр. 1-му метру.
зонъ одного и того же свода соотвѣтствуютъ различныя равнодѣйствующія въ каждомъ сѣченіи, а слѣдовательно и различныя кривыя давленія въ опорахъ.
Раздѣляя сводъ на нѣсколько частей (фиг. 3), найдя сопротивленія опоръ (D и D_1) и нагрузки отдѣльныхъ частей (g_1 , g_2, g_3 . . . g_6) мы можемъ сложить сперва силы D и g_1 въ одну равнодѣйствующую, сложить эту послѣднюю съ g_2 и т. д. до противулежащей опоры, причемъ получится ломаная линія, называемая многоугольникомъ равнод. силъ. (О I II III IV VI f). Изъ послѣд
няго получается кривая давленія, если соединять между собою точки пересѣченія отдѣльныхъ равнодѣйствующихъ съ соотв. сѣче
ніями (1 2 3 4 5 6 7). Чѣмъ на большее число частей раздѣленъ сводъ, тѣмъ болѣе полученный многоугольникъ приближается къ плавной кривой, т. наз. веревочной кривой, которая въ данномъ случаѣ тождественна съ опорной кривой.
Форма многоугольника, также какъ и веревочной кривой независима отъ точекъ приложенія сопротивленій D и D_1 опоръ, такъ какъ перемѣстивъ силы D, не измѣняя ихъ величины и направле
нія вверхъ или внизъ, мы перемѣстимъ на ту же величину самый
многоугольникъ, который такимъ образомъ останется тождественъ, съ первоначальнымъ. Поэтому если, какъ это часто приходится, надо опредѣлить только форму веревочной кривой, но не ея на
правленіе, то остаются лишь 4 неизвѣстныхъ: D, D_1 , a и a_1, и задавшись одною изъ нихъ можно рѣшить вопросъ статическимъ путемъ.
На основаніи теоріи упругости сводовъ Винклеру удалось доказать [*)] слѣдующее, весьма важное, положеніе: при постоянномъ сѣченіи изъ всѣхъ статически возможныхъ кривыхъ давленія
наиболѣе вѣрною будетъ та, у которой сумма квадратовъ разстояній (или уклоненій) отъ средней кривой свода будетъ наименьшею.
Поэтому самая правильная кривая давленія должна совпадать съ среднею кривою свода.
Поэтому при проектированіи свода слѣдуетъ начертить сначала его среднюю кривую такимъ образомъ, чтобы она по возможности совпадала съ кривою давленія, опредѣленнаго при извѣстныхъ пред
положеніяхъ, т. е. при извѣстныхъ, данныхъ нагрузкахъ. Такъ какъ въ гражданской архитектурѣ своды по большей части исклю
чительно подвергаются постояннымъ, неподвижнымь нагрузкамъ, то слѣдовательно найденная кривая и вообще будетъ отвѣчать требованіямъ.
Далѣе мы увидимъ, что въ тѣхъ случаяхъ, когда точное опредѣленіе кривой давленія почему либо затруднительно, можно ограничиться извѣстными предѣлами ея положенія; а такъ какъ кривая давленія легко можетъ быть получена посредствомъ многоуголь
ника равнодѣйствующихъ, то и слѣдуетъ начинать съ построенія послѣдняго.
а) Веревочная кривая и многоугольникъ равнодѣйствующихъ.
Изъ даннаго нами понятія о веревочной кривой слѣдуетъ, что касательная къ ней во всякой ея точкѣ должна имѣть общее направленіе съ равнодѣйствующей въ этой точкѣ
Чтобы составить уравненіе веревочной кривой, разсмотримъ часть дуги свода, длиною = ds (фиг. 4). Предположимъ, что нагрузки вертикальны и составляютъ на единицу горизонтальной поверхно
сти q килогр., причемъ q вообще перемѣнно. Тогда на часть т о
дуги, длина которой ds, дѣйствуютъ три силы: грузъ qdx и обѣ касательныхъ силы Р и Р + d Р.
Подъ вліяніемъ этихъ трехъ силъ дуга находится въ равновѣсіи, такъ что мы можемъ написать
Производя умноженіе и пренебрегая безконечно-малыми втораго порядка, найдемъ, что
что Р cos τ есть величина постоянная. А вмѣстѣ съ тѣмъ Р cos τ есть горизонтальная составляющая напряженія дуги; обозначимъ ее черезъ Н:
Этимъ выражается слѣдующій законъ: при вертикальныхъ нагрузкахъ горизонтальная составляющая напряженій въ аркѣ (дугѣ) свода есть величина постоянная. Н называется горизонтальнымъ распоромъ.