Если данъ видъ функціи q, то можно двойнымъ интегрированіемъ опредѣлить уравненіе веревочной кривой.
Во многихъ случаяхъ удобнѣе выразить это отношеніе въ иной формѣ. Обозначивъ радіусъ кривизны веревочной кривой черезъ ρ, имѣемъ (фиг. 4) ds = ρ d ῖ; далѣе.
Посредствомъ ур. (4) можно такимъ образомъ опредѣлить радіусы кривизны, соотвѣтствующіе различнымъ значеніямъ при данныхъ q и H.
Пусть въ замкѣ q = q_0, ρ = ρ_0; тогда, такъ какъ ῖ_0= О, имѣемъ
ρ_0=H/q_0, ИЛИ Η = q_0 ρ^0....................................................... (5)
Слѣдовательно, горизонтальный распоръ равенъ произведенію изъ нагрузки единицы длины горизонтальной проекціи на радіусъ кривизны веревочной кривой въ замкѣ.
Подставляя значеніе H изъ ур. (5) въ ур. (4), имѣемъ
лосъ пропорціональна вѣсу выражаемыхъ ими нагрузокъ. Такимъ образомъ получается площадь, ограничиваемая снизу веревочной кривой, а сверху — кривою, соединяющею высоты изображенныхъ графически нагрузокъ. Площадь эта, заштрихованная на фиг. 5, называется площадью нагрузокъ, а верхняя кривая, ее ограничивающая—кривою нагрузокъ.
при данной нагрузкѣ, слѣдовательно при данной функціи q, даетъ простымъ интегрированіемъ:
зомъ двѣ постоянныхъ будутъ даны. При нагрузкѣ, симметричной относительно вертикальной оси, кривая также будетъ симметрична относительно этой оси, которую мы и примемъ за ось у.
Здѣсь являются двѣ важныхъ задачи: во-первыхъ, по данной кривой нагрузокъ опредѣлить соотвѣтствующую ей веревочную кривую, во вторыхъ, по данной кривой свода опредѣлить соотвѣтствую
щую ей кривую нагрузокъ. Относительно первой изъ указываемыхъ задачъ замѣтимъ слѣдующее:
Въ большинствѣ случаевъ гражданской архитектуры кривая нагрузокъ имѣетъ видъ или горизонтальной прямой, или же двухъ наклонныхъ прямыхъ, сходящихся въ замкѣ подъ угломъ. Но такъ какъ рѣшеніе этой задачи требуетъ довольно утомительныхъ вы
численій и къ тому же самая задача рѣдко является именно въ такомъ видѣ, то мы ограничимся приводимыхъ далѣе графическимъ способомъ, отсылая интересующихся къ болѣе подробнымъ источникамъ [*)].
Перейдемъ теперь къ рѣшенію второй изъ намѣченныхъ нами задачъ, въ примѣненіе къ наиболѣе часто встрѣчаемому на практикѣ случаю—къ своду, образованному по дугѣ круга.
Радіусъ, кривизны круга есть величина постоянная, т. е. ρ = ρ_0 = r слѣдовательно уравненіе (5) веревочной кривой
приметъ видъ
Чтобы въ уравненіе входили лишь геометрическія величины, обозначимъ высоты площади нагрузокъ въ замкѣ и въ какой либо точкѣ, соотвѣтствующей углу ῖ, соотв. черезъ z_0 z (фиг. 6); если 7 есть относительный вѣсъ матеріала нагрузки то q_0 = γz_0, q = γz,
Ур. (7) есть уравненіе кривой нагрузокъ при сводѣ, средняя линія котораго есть кругъ. При ῖ = 0, z = z_0, соотвѣтственно
кривой въ видѣ полукруга соотвѣтствуетъ безконечно большая величина нагрузки надъ опорами или, другими словами, веревочная кривая не можетъ имѣть форму полукруга.
Ур. (7) весьма удобно для опредѣленія кривой нагрузокъ для дуги круга. Чтобы получить высоту z нагрузки, соотвѣтствующую точкѣ а, наносимъ данную высоту нагрузки въ замкѣ (z_0) на продолженіи радіуса ab, проводимъ черезъ а вертикальную прямую, а черезъ b— перпендикуляръ къ радіусу, который пересѣчетъ верти
кальную прямую въ с: проводимъ черезъ с горизонтальную cd и черезъ d перпендикуляръ de къ радіусу; тогда ае = z, такъ какъ
изъ этого видно, что форма кривой нагрузокъ зависитъ отъ
дулемъ. При небольшой вышинѣ нагрузки въ замкѣ, напр. при r/z_0=10, кривая нагрузокъ до угла въ 30° приблизительно концентрична съ дугой круга; при большихъ высотахъ нагрузокъ,
почти горизонтальна. Слѣдовательно, при нагрузкѣ, ограниченной арочку за веревочную кривую.
Веревочная кривая, какъ и многоугольникъ равнодѣйствующихъ, совершенно опредѣлена, если для нея даны три элемента; въ такомъ случаѣ, слѣдовательно, возможно ея графическое построеніе. Этими тремя элементами служатъ обыкновенно три точки, черезъ которыя кривая должна проходить; вмѣсто нихъ, впрочемъ, можно задаться величиной, направленіемъ и точкой приложенія сопротив
ленія одной изъ опоръ или одной изъ среднихъ силъ. Какъ мы увидимъ далѣе, всего цѣлесообразнѣе задаваться тремя точками : двумя—на опорахъ и одною—гдѣ либо на пути кривой. Покажемъ здѣсь построеніе многоугольника равнодѣйствующихъ по тремъ точкамъ; изъ него уже легко получить веревочную кривую.
Пусть данъ сводъ, симметричный относительно вертикальной оси, нагруженный также симметрично относительно этой оси (фиг. 7).
При этихъ условіяхъ, сообразно предыдущему, веревочная кривая будетъ также симметрична относительно этой оси и, слѣдовательно, часть ея въ замкѣ, при плавной формѣ кривой будетъ горизон
предположенію; при ῖ = 90°, z = z_0 = ∞; поэтому веревочной
данной величины z_0, и отъ радіуса. Отношеніе —- называется мо
напр. при r/z_0=3 , она но срединѣ (въ предѣлахъ угла въ 30°)
сверху прямою, причемъ r/z_0 бЛИЗКО къ 3, можно принять плоскую
Дифференціальное уравненіе веревочной кривой d^2y/dx=q/H
Во многихъ случаяхъ удобнѣе выразить это отношеніе въ иной формѣ. Обозначивъ радіусъ кривизны веревочной кривой черезъ ρ, имѣемъ (фиг. 4) ds = ρ d ῖ; далѣе.
Посредствомъ ур. (4) можно такимъ образомъ опредѣлить радіусы кривизны, соотвѣтствующіе различнымъ значеніямъ при данныхъ q и H.
Пусть въ замкѣ q = q_0, ρ = ρ_0; тогда, такъ какъ ῖ_0= О, имѣемъ
ρ_0=H/q_0, ИЛИ Η = q_0 ρ^0....................................................... (5)
Слѣдовательно, горизонтальный распоръ равенъ произведенію изъ нагрузки единицы длины горизонтальной проекціи на радіусъ кривизны веревочной кривой въ замкѣ.
Подставляя значеніе H изъ ур. (5) въ ур. (4), имѣемъ
Обыкновенно нагрузку свода изображаютъ въ видѣ вертикаль ныхъ полосъ равнаго относительнаго вѣса, такъ что вышина по
лосъ пропорціональна вѣсу выражаемыхъ ими нагрузокъ. Такимъ образомъ получается площадь, ограничиваемая снизу веревочной кривой, а сверху — кривою, соединяющею высоты изображенныхъ графически нагрузокъ. Площадь эта, заштрихованная на фиг. 5, называется площадью нагрузокъ, а верхняя кривая, ее ограничивающая—кривою нагрузокъ.
при данной нагрузкѣ, слѣдовательно при данной функціи q, даетъ простымъ интегрированіемъ:
Въ послѣднемъ уравненіи три постоянныхъ величины H, С и C_1, выборъ которыхъ опредѣляетъ характеръ и положеніе веревочной кривой.
Если нѣтъ надобности опредѣлять положеніе кривой, а можно ограничиться опредѣленіемъ лишь ея формы, то можно двѣ постоян
ныхъ взять произвольно, такъ какъ онѣ относятся исключительно
къ положенію веревочной кривой. Напр., можно принять С=С_1 =О
и тогда уравненіе кривой приметъ видъ
Въ большинствѣ случаевъ требуется опредѣлить именно форму кривой; поэтому мы можемъ задаться для нея заранѣе двумя точками, а именно опорами, лежащими на одной высотѣ; такимъ обра
зомъ двѣ постоянныхъ будутъ даны. При нагрузкѣ, симметричной относительно вертикальной оси, кривая также будетъ симметрична относительно этой оси, которую мы и примемъ за ось у.
Здѣсь являются двѣ важныхъ задачи: во-первыхъ, по данной кривой нагрузокъ опредѣлить соотвѣтствующую ей веревочную кривую, во вторыхъ, по данной кривой свода опредѣлить соотвѣтствую
щую ей кривую нагрузокъ. Относительно первой изъ указываемыхъ задачъ замѣтимъ слѣдующее:
Въ большинствѣ случаевъ гражданской архитектуры кривая нагрузокъ имѣетъ видъ или горизонтальной прямой, или же двухъ наклонныхъ прямыхъ, сходящихся въ замкѣ подъ угломъ. Но такъ какъ рѣшеніе этой задачи требуетъ довольно утомительныхъ вы
численій и къ тому же самая задача рѣдко является именно въ такомъ видѣ, то мы ограничимся приводимыхъ далѣе графическимъ способомъ, отсылая интересующихся къ болѣе подробнымъ источникамъ [*)].
Перейдемъ теперь къ рѣшенію второй изъ намѣченныхъ нами задачъ, въ примѣненіе къ наиболѣе часто встрѣчаемому на практикѣ случаю—къ своду, образованному по дугѣ круга.
Радіусъ, кривизны круга есть величина постоянная, т. е. ρ = ρ_0 = r слѣдовательно уравненіе (5) веревочной кривой
приметъ видъ
Чтобы въ уравненіе входили лишь геометрическія величины, обозначимъ высоты площади нагрузокъ въ замкѣ и въ какой либо точкѣ, соотвѣтствующей углу ῖ, соотв. черезъ z_0 z (фиг. 6); если 7 есть относительный вѣсъ матеріала нагрузки то q_0 = γz_0, q = γz,
Ур. (7) есть уравненіе кривой нагрузокъ при сводѣ, средняя линія котораго есть кругъ. При ῖ = 0, z = z_0, соотвѣтственно
кривой въ видѣ полукруга соотвѣтствуетъ безконечно большая величина нагрузки надъ опорами или, другими словами, веревочная кривая не можетъ имѣть форму полукруга.
Ур. (7) весьма удобно для опредѣленія кривой нагрузокъ для дуги круга. Чтобы получить высоту z нагрузки, соотвѣтствующую точкѣ а, наносимъ данную высоту нагрузки въ замкѣ (z_0) на продолженіи радіуса ab, проводимъ черезъ а вертикальную прямую, а черезъ b— перпендикуляръ къ радіусу, который пересѣчетъ верти
кальную прямую въ с: проводимъ черезъ с горизонтальную cd и черезъ d перпендикуляръ de къ радіусу; тогда ае = z, такъ какъ
изъ этого видно, что форма кривой нагрузокъ зависитъ отъ
дулемъ. При небольшой вышинѣ нагрузки въ замкѣ, напр. при r/z_0=10, кривая нагрузокъ до угла въ 30° приблизительно концентрична съ дугой круга; при большихъ высотахъ нагрузокъ,
почти горизонтальна. Слѣдовательно, при нагрузкѣ, ограниченной арочку за веревочную кривую.
Веревочная кривая, какъ и многоугольникъ равнодѣйствующихъ, совершенно опредѣлена, если для нея даны три элемента; въ такомъ случаѣ, слѣдовательно, возможно ея графическое построеніе. Этими тремя элементами служатъ обыкновенно три точки, черезъ которыя кривая должна проходить; вмѣсто нихъ, впрочемъ, можно задаться величиной, направленіемъ и точкой приложенія сопротив
ленія одной изъ опоръ или одной изъ среднихъ силъ. Какъ мы увидимъ далѣе, всего цѣлесообразнѣе задаваться тремя точками : двумя—на опорахъ и одною—гдѣ либо на пути кривой. Покажемъ здѣсь построеніе многоугольника равнодѣйствующихъ по тремъ точкамъ; изъ него уже легко получить веревочную кривую.
Пусть данъ сводъ, симметричный относительно вертикальной оси, нагруженный также симметрично относительно этой оси (фиг. 7).
При этихъ условіяхъ, сообразно предыдущему, веревочная кривая будетъ также симметрична относительно этой оси и, слѣдовательно, часть ея въ замкѣ, при плавной формѣ кривой будетъ горизон
[*)] Schwedler. Theorie der Stützlinie. Zeitschr. für Bauw. 1859, стр. 109. Ritter. Lehrbuch der Ingenieur-Mechanik. Hannover. 1876, стр. 335.
предположенію; при ῖ = 90°, z = z_0 = ∞; поэтому веревочной
данной величины z_0, и отъ радіуса. Отношеніе —- называется мо
напр. при r/z_0=3 , она но срединѣ (въ предѣлахъ угла въ 30°)
сверху прямою, причемъ r/z_0 бЛИЗКО къ 3, можно принять плоскую
Дифференціальное уравненіе веревочной кривой d^2y/dx=q/H