напряженіе, величина котораго не должна превосходить предѣла прочнаго сопротивленія матеріала, вы
ражаетъ зависимость прочности бруса оть матеріала. Этого уравненія во многихъ случаяхъ достаточно для опредѣленія прочности изгибаемаго бруса.
Величины допускаемыхъ напряженій для различныхъ матеріаловъ, опредѣленныя опытомъ, даны въ справочныхъ таблицахъ. Величины моментовъ сопро
тивленія вычислены и имѣются въ таблицахъ, по крайней мѣрѣ для наиболѣе употребительныхъ формъ поперечныхъ сѣченій. Что же касается величины момента внѣшнихъ силъ, то ее необходимо умѣть опредѣлять въ каждомъ данномъ случаѣ. Особенно важное значеніе, при постоянномъ по длинѣ попереч
номъ сѣченіи бруса, имѣетъ наибольшая величина этого момента. Именно, по величинѣ maxM. мы при данномъ k опредѣляемъ W, т. е. форму и размѣры поперечнаго сѣченія бруса.
Зная дѣйствующія на брусъ силы, мы можемъ опредѣлить моментъ ихъ графически, при помощи плана силъ и веревочнаго многоугольника. Моментъ параллельныхъ силъ, дѣйствующихъ по одну сторону какого либо сѣченія бруса, пропорціоналенъ отрѣзку, проведенному чрезъ данное сѣченіе параллельно на
правленію силъ между крайними лучами веревочнаго многоугольника, Истинная величина момента выра
жается произведеніемъ этого отрѣзка на полюсное разстояніе. Такъ какъ силы и опорныя сопротивленія находятся въ равновѣсіи, то веревочный многоуголь
никъ въ каждомъ случаѣ даетъ замкнутую фигуру, ординаты которой будутъ пропорціональны изгибаю
щимъ моментамъ и наибольшая ордината которой, соотвѣтствующая наибольшему моменту, укажетъ опа
сное сѣченіе бруса. Эта замкнутая фигура называется площадью моментовъ.
Такъ опредѣляются изгибающіе моменты во всѣхъ случаяхъ, когда мы можемъ найти опорныя сопро
тивленія на основаніи условій равновѣсія. Рѣшеніе задачъ въ другихъ случаяхъ, при статически неопредѣлимыхъ системахъ опоръ, мы разсмотримъ позднѣе.
Перейдемъ теперь къ опредѣленію зависимости между величиною изгибающаго момента и измѣненіемъ вида оси бруса въ связи съ нарушеніемъ параллельности его поперечныхъ сѣченіи (черт. 1)
Черт. 1.
Разсмотримъ отрѣзокъ изгибаемаго бруса, длиною ∆x. Приращеніе длины его элемента, имѣющаго площадь поперечнаго сѣченія ω и лежащаго на разстояніи у отъ нейтральной оси, равно
l = ytgα,
гдѣ α есть уголъ, на который повернулась при деформаціи одна изъ граней разсматриваемаго отрѣзка. Приращеніе длины, на основаніи опыта, пропорціонально силѣ и длинѣ бруса и обратно пропорціональ
Черт. 2.
На основаніи этого ордината прогиба ∆y Для сѣченія бруса, лежащаго на разстояніи x отъ части бруса, деформацію которой мы разсматриваемъ,
∆ y= xtdα = x* M/EJ ∆x,
т. е. равна произведенію площади, которою выражается
площади моментовъ, составляя лишь новый масштабъ для ординатъ, каждая единица котораго равна EJ единицъ прежняго масштаба. При этомъ тангенсъ угла, образуемаго при деформаціи двумя сѣченіями, выразится графически частью площади моментовъ, ограниченной ординатами, проходящими черезъ раз
сматриваемыя сѣченія при условіи измѣренія ординатъ по новому масштабу.
Переходя къ опредѣленію деформаціи оси бруса, примемъ въ соображеніе, что поперечныя сѣченія бруса при деформаціи сохраняютъ свою нормаль
ность къ оси и, слѣдовательно, уголъ, образуемый двумя сѣченіями бруса, равенъ углу искривленія оси бруса при деформаціи отрѣзка, заключающагося между этими сѣченіями (черт. 2).
опредѣлить величины графически при помощи
Мы знаемъ, какъ выражаются графически, величины изгибающихъ моментовъ M для различныхъ сѣченій по длинѣ бруса. Произведеніе же EJ въ боль
шинствѣ случаевъ, а именно при однообразномъ по длинѣ бруса матеріалъ и поперечномъ сѣченіи, сохраняетъ постоянное значеніе. Стало быть мы можемъ
Такимъ образомъ
есть, такъ называемый, моментъ инерціи сѣченія относительно нейтральной оси, опредѣляющій зависимость величины деформаціи бруса отъ формы и размѣровъ
его поперечнаго сѣченія. Эти моменты вычислены для употребительныхъ формъ поперечныхъ сѣченій и имѣются въ справочныхъ таблицахъ. Въ этомъ выраженіи величина
Σωy^2=J
Сопротивленіе всѣхъ элементовъ поперечнаго сѣченія бруса даютъ въ совокупности пару силъ, моментъ которой долженъ быть равенъ изгибающему моменту
чины этихъ коеффиціентовъ E для различныхъ матеріаловъ помѣщены въ справочныхъ изданіяхъ. Отсюда сила, или вызываемое ею и равное ей сопро
тивленіе разсматриваемаго элемента при указанномъ приращеніи длины, равна
му коеффиціентомъ упругости, т. е.Бели
но площади поперечнаго сѣченія и нѣкоторому коеффиціенту E, зависящему отъ матеріала и называемо
ражаетъ зависимость прочности бруса оть матеріала. Этого уравненія во многихъ случаяхъ достаточно для опредѣленія прочности изгибаемаго бруса.
Величины допускаемыхъ напряженій для различныхъ матеріаловъ, опредѣленныя опытомъ, даны въ справочныхъ таблицахъ. Величины моментовъ сопро
тивленія вычислены и имѣются въ таблицахъ, по крайней мѣрѣ для наиболѣе употребительныхъ формъ поперечныхъ сѣченій. Что же касается величины момента внѣшнихъ силъ, то ее необходимо умѣть опредѣлять въ каждомъ данномъ случаѣ. Особенно важное значеніе, при постоянномъ по длинѣ попереч
номъ сѣченіи бруса, имѣетъ наибольшая величина этого момента. Именно, по величинѣ maxM. мы при данномъ k опредѣляемъ W, т. е. форму и размѣры поперечнаго сѣченія бруса.
Зная дѣйствующія на брусъ силы, мы можемъ опредѣлить моментъ ихъ графически, при помощи плана силъ и веревочнаго многоугольника. Моментъ параллельныхъ силъ, дѣйствующихъ по одну сторону какого либо сѣченія бруса, пропорціоналенъ отрѣзку, проведенному чрезъ данное сѣченіе параллельно на
правленію силъ между крайними лучами веревочнаго многоугольника, Истинная величина момента выра
жается произведеніемъ этого отрѣзка на полюсное разстояніе. Такъ какъ силы и опорныя сопротивленія находятся въ равновѣсіи, то веревочный многоуголь
никъ въ каждомъ случаѣ даетъ замкнутую фигуру, ординаты которой будутъ пропорціональны изгибаю
щимъ моментамъ и наибольшая ордината которой, соотвѣтствующая наибольшему моменту, укажетъ опа
сное сѣченіе бруса. Эта замкнутая фигура называется площадью моментовъ.
Такъ опредѣляются изгибающіе моменты во всѣхъ случаяхъ, когда мы можемъ найти опорныя сопро
тивленія на основаніи условій равновѣсія. Рѣшеніе задачъ въ другихъ случаяхъ, при статически неопредѣлимыхъ системахъ опоръ, мы разсмотримъ позднѣе.
Перейдемъ теперь къ опредѣленію зависимости между величиною изгибающаго момента и измѣненіемъ вида оси бруса въ связи съ нарушеніемъ параллельности его поперечныхъ сѣченіи (черт. 1)
Черт. 1.
Разсмотримъ отрѣзокъ изгибаемаго бруса, длиною ∆x. Приращеніе длины его элемента, имѣющаго площадь поперечнаго сѣченія ω и лежащаго на разстояніи у отъ нейтральной оси, равно
l = ytgα,
гдѣ α есть уголъ, на который повернулась при деформаціи одна изъ граней разсматриваемаго отрѣзка. Приращеніе длины, на основаніи опыта, пропорціонально силѣ и длинѣ бруса и обратно пропорціональ
Черт. 2.
На основаніи этого ордината прогиба ∆y Для сѣченія бруса, лежащаго на разстояніи x отъ части бруса, деформацію которой мы разсматриваемъ,
∆ y= xtdα = x* M/EJ ∆x,
т. е. равна произведенію площади, которою выражается
площади моментовъ, составляя лишь новый масштабъ для ординатъ, каждая единица котораго равна EJ единицъ прежняго масштаба. При этомъ тангенсъ угла, образуемаго при деформаціи двумя сѣченіями, выразится графически частью площади моментовъ, ограниченной ординатами, проходящими черезъ раз
сматриваемыя сѣченія при условіи измѣренія ординатъ по новому масштабу.
Переходя къ опредѣленію деформаціи оси бруса, примемъ въ соображеніе, что поперечныя сѣченія бруса при деформаціи сохраняютъ свою нормаль
ность къ оси и, слѣдовательно, уголъ, образуемый двумя сѣченіями бруса, равенъ углу искривленія оси бруса при деформаціи отрѣзка, заключающагося между этими сѣченіями (черт. 2).
опредѣлить величины графически при помощи
Мы знаемъ, какъ выражаются графически, величины изгибающихъ моментовъ M для различныхъ сѣченій по длинѣ бруса. Произведеніе же EJ въ боль
шинствѣ случаевъ, а именно при однообразномъ по длинѣ бруса матеріалъ и поперечномъ сѣченіи, сохраняетъ постоянное значеніе. Стало быть мы можемъ
Такимъ образомъ
есть, такъ называемый, моментъ инерціи сѣченія относительно нейтральной оси, опредѣляющій зависимость величины деформаціи бруса отъ формы и размѣровъ
его поперечнаго сѣченія. Эти моменты вычислены для употребительныхъ формъ поперечныхъ сѣченій и имѣются въ справочныхъ таблицахъ. Въ этомъ выраженіи величина
Σωy^2=J
Сопротивленіе всѣхъ элементовъ поперечнаго сѣченія бруса даютъ въ совокупности пару силъ, моментъ которой долженъ быть равенъ изгибающему моменту
чины этихъ коеффиціентовъ E для различныхъ матеріаловъ помѣщены въ справочныхъ изданіяхъ. Отсюда сила, или вызываемое ею и равное ей сопро
тивленіе разсматриваемаго элемента при указанномъ приращеніи длины, равна
му коеффиціентомъ упругости, т. е.Бели
но площади поперечнаго сѣченія и нѣкоторому коеффиціенту E, зависящему отъ матеріала и называемо