графически tgα, на разстояніе x или, проще, статическому моменту указанной площади относительно сѣченія, прогибъ котораго опредѣляется.
Такимъ образомъ, имѣя нѣкоторую площадь моментовъ, мы можемъ разсматривать ее, какъ совокуп
ность элементарныхъ площадокъ, шириною каждая ∆x. Высоты этихъ площадокъ представляютъ величины моментовъ въ различныхъ сѣченіяхъ, или же при перемѣнѣ масштаба потребныя намъ величины M/EJ. Умѣя опредѣлять деформаціи въ зависимости отъ
этихъ элементарныхъ площадокъ, мы можемъ найти полную деформацію бруса, суммируя его элементарныя деформаціи (черт. 3).
Черт. 3.
Положимъ, что намъ дана площадь моментовъ для части изгибаемаго бруса между сѣченіями А и В. Эта площадь ограничена сверху нѣкоторой кривой и моменты въ начальной и конечной точкахъ соотвѣт
ственно равны M_a и M_b. Требуется найти прогибъ точки B относительно A.
Очевидно тангенсъ угла, образуемаго направленіями изогнутой оси въ крайнихъ точкахъ разсмат
риваемой части бруса, выразится суммой элементарныхъ площадокъ, или всей площадью, заключенной между ординатами M_a и M_b. Искомый же прогибъ
точки B относительно A выразится суммой моментовъ элементарныхъ площадокъ, или статическимъ мо
ментомъ всей указанной площади, т. е. произведеніемъ ея величины на разстояніе центра тяжести до точки B. Графическое рѣшеніе этой задачи не представляетъ затрудненій.
Указанное выше измѣненіе масштаба ординатъ необходимо для опредѣленія истинной величины де
формацій. Въ тѣхъ же случаяхъ, когда важна ихъ относительная величина, напримѣръ, при сравненіи различныхъ способовъ нагрузки одного и того же бруса и т. п., это дѣйствіе является излишнимъ.
Такимъ путемъ мы можемъ опредѣлить прогибъ одного конца бруса относительно другого, что даетъ намъ рѣшеніе задачи при брусьяхъ, задѣланныхъ однимъ концемъ. Что касается брусьевъ, лежащихъ на двухъ опорахъ, то, повторяя графическое постро
еніе указанныхъ моментовъ для различныхъ точекъ оси, мы получимъ лишь изображеніе упругой линіи, а для измѣренія прогибовъ мы должны провести за
мыкающую прямую черезъ крайнія точки найденной кривой. Тогда ординаты площади, заключенной между прямою и кривою линіями, дадутъ намъ величины прогибовъ. Но мы знаемъ, что эти ординаты выра
жаютъ собою изгибающіе моменты отъ нагрузки бруса пропорціональной площади моментовъ. Это сообра
женіе указываетъ намъ слѣдующій ходъ рѣшенія задачъ по опредѣленію прогиба.
а) На данныхъ силахъ строимъ веревочный многоугольникъ и при помощи его опредѣляемъ сопротивленія опоръ и площадь изгибающихъ моментовъ;
б) раздѣляя площадь моментовъ на элементарныя части, строимъ на величинахъ ихъ, какъ на силахъ, помощью новаго веревочнаго многоугольника новую площадь моментовъ. Ординаты этой площади будутъ пропорціональны ординатамъ упругой линіи.
в) Для опредѣленія истинной величины этихъ ординатъ или прогибовъ различныхъ точекъ оси бру
са остается составить соотвѣтствующіе масштабы, а именно:
1. Масштабъ для разстояній, напр., въ метрахъ. 2. Масштабъ для силъ, напр., въ килограммахъ.
3. Масштабъ для изгибающихъ моментовъ. При полюсномъ разстояніи въ h метровъ, каждая его единица равна 1/h масштаба силъ въ килограмметрахъ.
4. Масштабъ для измѣренія элементарныхъ частей площади моментовъ въ килогр. метр.^2
5. Масштабъ для измѣренія относительныхъ величинъ ординатъ прогиба. При полюсномъ разстояніи въ h_1 метровъ каждая, единица его равна 1/h_1 предъидущаго масштаба въ килогр. метр.
6. Масштабъ для опредѣленія истинной величины ординатъ прогиба. Каждая единица его равна EJ единицъ предыдущаго масштаба.
Въ частныхъ случаяхъ, напримѣръ при полюсныхъ разстояніяхъ равныхъ единицѣ, число масштабовъ можетъ быть сокращено.
Весь ходъ рѣшенія получитъ болѣе наглядную и картинную форму, если мы будемъ разсматривать пло
щадь изгибающихъ моментовъ, какъ нѣкоторую не
прерывную нагрузку бруса. Тогда прогибы разныхъ точекъ оси выразятся изгибающими моментами отъ такой нагрузки. На основаніи этого мы можемъ сказать, что ординаты упругой линіи выражаются изгибающими моментами отъ нагрузки бруса пропорціональной площади моментовъ.
II.
Простѣйшіе примѣры наглядно иллюстрируютъ удобство примѣненія указаннаго графическаго способа къ рѣшенію задачъ. Примѣръ I.
Брусъ лежитъ свободно на двухъ опорахъ и нагруженъ по срединѣ сосредоточеннымъ грузомъ P
Вѣсомъ бруса можно пренебречь. Разстояніе между
опорными точками l. Опредѣлить прогибъ средины бруса (черт. 4).
Такимъ образомъ, имѣя нѣкоторую площадь моментовъ, мы можемъ разсматривать ее, какъ совокуп
ность элементарныхъ площадокъ, шириною каждая ∆x. Высоты этихъ площадокъ представляютъ величины моментовъ въ различныхъ сѣченіяхъ, или же при перемѣнѣ масштаба потребныя намъ величины M/EJ. Умѣя опредѣлять деформаціи въ зависимости отъ
этихъ элементарныхъ площадокъ, мы можемъ найти полную деформацію бруса, суммируя его элементарныя деформаціи (черт. 3).
Черт. 3.
Положимъ, что намъ дана площадь моментовъ для части изгибаемаго бруса между сѣченіями А и В. Эта площадь ограничена сверху нѣкоторой кривой и моменты въ начальной и конечной точкахъ соотвѣт
ственно равны M_a и M_b. Требуется найти прогибъ точки B относительно A.
Очевидно тангенсъ угла, образуемаго направленіями изогнутой оси въ крайнихъ точкахъ разсмат
риваемой части бруса, выразится суммой элементарныхъ площадокъ, или всей площадью, заключенной между ординатами M_a и M_b. Искомый же прогибъ
точки B относительно A выразится суммой моментовъ элементарныхъ площадокъ, или статическимъ мо
ментомъ всей указанной площади, т. е. произведеніемъ ея величины на разстояніе центра тяжести до точки B. Графическое рѣшеніе этой задачи не представляетъ затрудненій.
Указанное выше измѣненіе масштаба ординатъ необходимо для опредѣленія истинной величины де
формацій. Въ тѣхъ же случаяхъ, когда важна ихъ относительная величина, напримѣръ, при сравненіи различныхъ способовъ нагрузки одного и того же бруса и т. п., это дѣйствіе является излишнимъ.
Такимъ путемъ мы можемъ опредѣлить прогибъ одного конца бруса относительно другого, что даетъ намъ рѣшеніе задачи при брусьяхъ, задѣланныхъ однимъ концемъ. Что касается брусьевъ, лежащихъ на двухъ опорахъ, то, повторяя графическое постро
еніе указанныхъ моментовъ для различныхъ точекъ оси, мы получимъ лишь изображеніе упругой линіи, а для измѣренія прогибовъ мы должны провести за
мыкающую прямую черезъ крайнія точки найденной кривой. Тогда ординаты площади, заключенной между прямою и кривою линіями, дадутъ намъ величины прогибовъ. Но мы знаемъ, что эти ординаты выра
жаютъ собою изгибающіе моменты отъ нагрузки бруса пропорціональной площади моментовъ. Это сообра
женіе указываетъ намъ слѣдующій ходъ рѣшенія задачъ по опредѣленію прогиба.
а) На данныхъ силахъ строимъ веревочный многоугольникъ и при помощи его опредѣляемъ сопротивленія опоръ и площадь изгибающихъ моментовъ;
б) раздѣляя площадь моментовъ на элементарныя части, строимъ на величинахъ ихъ, какъ на силахъ, помощью новаго веревочнаго многоугольника новую площадь моментовъ. Ординаты этой площади будутъ пропорціональны ординатамъ упругой линіи.
в) Для опредѣленія истинной величины этихъ ординатъ или прогибовъ различныхъ точекъ оси бру
са остается составить соотвѣтствующіе масштабы, а именно:
1. Масштабъ для разстояній, напр., въ метрахъ. 2. Масштабъ для силъ, напр., въ килограммахъ.
3. Масштабъ для изгибающихъ моментовъ. При полюсномъ разстояніи въ h метровъ, каждая его единица равна 1/h масштаба силъ въ килограмметрахъ.
4. Масштабъ для измѣренія элементарныхъ частей площади моментовъ въ килогр. метр.^2
5. Масштабъ для измѣренія относительныхъ величинъ ординатъ прогиба. При полюсномъ разстояніи въ h_1 метровъ каждая, единица его равна 1/h_1 предъидущаго масштаба въ килогр. метр.
6. Масштабъ для опредѣленія истинной величины ординатъ прогиба. Каждая единица его равна EJ единицъ предыдущаго масштаба.
Въ частныхъ случаяхъ, напримѣръ при полюсныхъ разстояніяхъ равныхъ единицѣ, число масштабовъ можетъ быть сокращено.
Весь ходъ рѣшенія получитъ болѣе наглядную и картинную форму, если мы будемъ разсматривать пло
щадь изгибающихъ моментовъ, какъ нѣкоторую не
прерывную нагрузку бруса. Тогда прогибы разныхъ точекъ оси выразятся изгибающими моментами отъ такой нагрузки. На основаніи этого мы можемъ сказать, что ординаты упругой линіи выражаются изгибающими моментами отъ нагрузки бруса пропорціональной площади моментовъ.
II.
Простѣйшіе примѣры наглядно иллюстрируютъ удобство примѣненія указаннаго графическаго способа къ рѣшенію задачъ. Примѣръ I.
Брусъ лежитъ свободно на двухъ опорахъ и нагруженъ по срединѣ сосредоточеннымъ грузомъ P
Вѣсомъ бруса можно пренебречь. Разстояніе между
опорными точками l. Опредѣлить прогибъ средины бруса (черт. 4).