Всѣ внѣшнія силы, дѣйствующія на куполъ, можно раздѣлить на двѣ группы:
а) силы, находящіяся въ меридіональныхъ плоскостяхъ (т. е. въ плоскостяхъ, проходящихъ черезъ ось купола [*)], притомъ силы какой угодно величины и какъ угодно направленныя, но въ каждой данной параллели равномѣрно распредѣленныя и составляющія постоянный уголъ съ осью купола, и
б) силы, не подчиненныя никакимъ условіямъ. Излагаемая теорія даетъ возможность сдѣлать разсчетъ ку
пола произвольнаго начертанія, подверженнаго дѣйствію силъ первой группы. При дѣйствіи на куполъ силъ второй группы теорія можетъ быть примѣнена лишь въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ, и то лишь при разсчетѣ сферическаго купола.
Вырѣжемъ въ куполѣ кольцо двумя коническими поверхностями, образующія которыхъ нормальны къ образующей серединнаго купола, (фиг. 4) и установимъ
Фиг. 4. слѣдующую номенклатуру:
r — радіусъ средней параллели кольца серединнаго ку
пола;
r_1 и r_11 — радіусы крайнихъ параллей кольца;
r_0 — радіусъ параллели верхняго отверстія (въ открытыхъ
куполахъ);
r_а — радіусъ параллели у опорнаго кольца;
т, т_0, т_1, т_11, т_а — толщина купола въ параллеляхъ
соотвѣтствующихъ радіусовъ;
y, у_0, у_1, у_11 у_а — высота подъема замка купола надъ соотвѣтствующими парраллелями;
α, α_0, α_1, α_11, α_а — углы, составляемые касательными къ образующей въ меридіональной плоскости съ соотвѣтствующими радіусами параллелей;
Q, Q_0, Q_1, Q_11 — вѣсъ частей купола, находящихся надъ сѣченіями по соотвѣтствующимъ параллелямъ, со включеніемъ суммы вертикальныхъ слагающихъ внѣшнихъ силъ;
ω — площадь поперечнаго сѣченія кольца;
Δ Q = Q_11 - Q_1 — 2 π r ω δ, гдѣ δ — вѣсъ единицы объема купола;
i — величина относительнаго удлиненія фибры при деформаціи;
R, R_1, R_11 — напряженія, развивающіяся въ матеріалѣ на единицѣ плошади въ швахъ по параллелямъ; будемъ называть эти напряженія продольными напряженіями;
[*)] Она жe и ось вращенія.
Т — среднее напряженіе, развивающееся въ матеріалѣ на единицѣ площади сѣченія кольца въ швахъ по меридіану; назовемъ его поперечнымъ напряженіемъ.
ρ — радіусъ кривизны образующей, — въ частности - радіусъ дуги въ сферическомъ куполѣ;
N — параметръ параболы.
Вырѣжемъ въ кольцѣ, изображенномъ на фиг. 4. двумя меридіанальными плоскостями, находящимися подъ угломъ β, элементъ. Найдемъ условія равновѣсія этого элемента.
На элементъ дѣйствуютъ слѣдующія силы:
1) давленіе, производимое вышележащей частью купола; это давленіе направлено по нормали къ верхней грани внутрь элемента; оно равно R_1 m_1 r_1 β;
2) вѣсъ элемента; онъ равенъ ω . r . δβ;
3) равнодѣйствующая внѣшнихъ силъ, дѣйствующихъ на элементъ; обозначивъ А величину силы, приходящейся на единицу поверхности элемента, получимъ для
равнодѣйствующей выраженіе
4) реакція нижележащей части купола; она направлена по нормали къ нижней грани внутрь элемента и равна R_11 m_11 r_11 β;
5) Давленія на боковыя грани элемента; каждая изъ силъ равна Т . ω.
Проектируя всѣ эти силы на три оси координатъ, направленныя изъ центра элемента по вертикали, по радіусу и по касательной къ параллели, получимъ
Сокративъ первое уравненіе на β и помноживъ его на 2 π, получимъ
Не трудно видѣть, что первые три члена уравненія представляютъ вѣсъ части купола, находящейся надъ параллелью радіуса r_11, со включеніемъ суммы вертикальныхъ слагающихъ всѣхъ внѣшнихъ силъ, дѣйствую
щихъ на эту часть купола; поэтому можемъ написать
Q — 2 π r m R Sin α = О . .. . . . . .. . . . . .. ..... IV Это первое основное уравненіе.
Такъ какъ уголъ β величина произвольная, то она можетъ быть взята и безконечно малой; при углѣ β
близкомъ къ нулю имѣемъ
Подставляя сюда изъ перваго основного уравненія, умноженнаго на Cosα,
Имѣя это въ виду, можемъ написать уравненіе II въ такомъ видѣ
а) силы, находящіяся въ меридіональныхъ плоскостяхъ (т. е. въ плоскостяхъ, проходящихъ черезъ ось купола [*)], притомъ силы какой угодно величины и какъ угодно направленныя, но въ каждой данной параллели равномѣрно распредѣленныя и составляющія постоянный уголъ съ осью купола, и
б) силы, не подчиненныя никакимъ условіямъ. Излагаемая теорія даетъ возможность сдѣлать разсчетъ ку
пола произвольнаго начертанія, подверженнаго дѣйствію силъ первой группы. При дѣйствіи на куполъ силъ второй группы теорія можетъ быть примѣнена лишь въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ, и то лишь при разсчетѣ сферическаго купола.
Вырѣжемъ въ куполѣ кольцо двумя коническими поверхностями, образующія которыхъ нормальны къ образующей серединнаго купола, (фиг. 4) и установимъ
Фиг. 4. слѣдующую номенклатуру:
r — радіусъ средней параллели кольца серединнаго ку
пола;
r_1 и r_11 — радіусы крайнихъ параллей кольца;
r_0 — радіусъ параллели верхняго отверстія (въ открытыхъ
куполахъ);
r_а — радіусъ параллели у опорнаго кольца;
т, т_0, т_1, т_11, т_а — толщина купола въ параллеляхъ
соотвѣтствующихъ радіусовъ;
y, у_0, у_1, у_11 у_а — высота подъема замка купола надъ соотвѣтствующими парраллелями;
α, α_0, α_1, α_11, α_а — углы, составляемые касательными къ образующей въ меридіональной плоскости съ соотвѣтствующими радіусами параллелей;
Q, Q_0, Q_1, Q_11 — вѣсъ частей купола, находящихся надъ сѣченіями по соотвѣтствующимъ параллелямъ, со включеніемъ суммы вертикальныхъ слагающихъ внѣшнихъ силъ;
ω — площадь поперечнаго сѣченія кольца;
Δ Q = Q_11 - Q_1 — 2 π r ω δ, гдѣ δ — вѣсъ единицы объема купола;
i — величина относительнаго удлиненія фибры при деформаціи;
R, R_1, R_11 — напряженія, развивающіяся въ матеріалѣ на единицѣ плошади въ швахъ по параллелямъ; будемъ называть эти напряженія продольными напряженіями;
[*)] Она жe и ось вращенія.
Т — среднее напряженіе, развивающееся въ матеріалѣ на единицѣ площади сѣченія кольца въ швахъ по меридіану; назовемъ его поперечнымъ напряженіемъ.
ρ — радіусъ кривизны образующей, — въ частности - радіусъ дуги въ сферическомъ куполѣ;
N — параметръ параболы.
Вырѣжемъ въ кольцѣ, изображенномъ на фиг. 4. двумя меридіанальными плоскостями, находящимися подъ угломъ β, элементъ. Найдемъ условія равновѣсія этого элемента.
На элементъ дѣйствуютъ слѣдующія силы:
1) давленіе, производимое вышележащей частью купола; это давленіе направлено по нормали къ верхней грани внутрь элемента; оно равно R_1 m_1 r_1 β;
2) вѣсъ элемента; онъ равенъ ω . r . δβ;
3) равнодѣйствующая внѣшнихъ силъ, дѣйствующихъ на элементъ; обозначивъ А величину силы, приходящейся на единицу поверхности элемента, получимъ для
равнодѣйствующей выраженіе
4) реакція нижележащей части купола; она направлена по нормали къ нижней грани внутрь элемента и равна R_11 m_11 r_11 β;
5) Давленія на боковыя грани элемента; каждая изъ силъ равна Т . ω.
Проектируя всѣ эти силы на три оси координатъ, направленныя изъ центра элемента по вертикали, по радіусу и по касательной къ параллели, получимъ
Сокративъ первое уравненіе на β и помноживъ его на 2 π, получимъ
Не трудно видѣть, что первые три члена уравненія представляютъ вѣсъ части купола, находящейся надъ параллелью радіуса r_11, со включеніемъ суммы вертикальныхъ слагающихъ всѣхъ внѣшнихъ силъ, дѣйствую
щихъ на эту часть купола; поэтому можемъ написать
Q — 2 π r m R Sin α = О . .. . . . . .. . . . . .. ..... IV Это первое основное уравненіе.
Такъ какъ уголъ β величина произвольная, то она можетъ быть взята и безконечно малой; при углѣ β
близкомъ къ нулю имѣемъ
Подставляя сюда изъ перваго основного уравненія, умноженнаго на Cosα,
Имѣя это въ виду, можемъ написать уравненіе II въ такомъ видѣ