цѣлью облегчить трудъ читателя, ищущаго въ настоящемъ трудѣ отвѣтовъ на практическіе вопросы по проектированію и разсчету куполовъ, а не теоретическихъ изслѣдованій вопроса.
Напряженія, развивающіяся въ каждой точкѣ купола подъ вліяніемъ внѣшнихъ силъ, можно свести къ двумъ силамъ A и B, фиг. 22, дѣйствующимъ въ двухъ
Фиг. 22.
взаимно перпендикулярныхъ плоскостяхъ: A — въ плоскости меридіональной по касательной къ образующей и B — въ плоскости, проходящей черезъ параллель дан
ной точки, по радіусу параллели. Сила A производитъ сжатіе матеріала купола по касательной; силы B производятъ сжатіе или растяженіе кольца.
Вслѣдствіе неодинаковаго сжатія (или растяженія) колецъ измѣняется форма образующей. До деформаціи образующей всѣ фибры равномѣрно напряжены, почему равнодѣйствующая напряженій фибръ занимаетъ сере
динное положеніе; послѣ деформаціи длина однихъ фибръ увеличится, а другихъ уменьшится; пропорціо
нально этимъ деформаціямъ измѣнятся и напряженія фибръ, вслѣдствіе чего равнодѣйствующая отойдетъ отъ серединнаго положенія.
Деформація купола зависитъ отъ вида образующей, конструкціи, матеріала и отъ величины и способа нагрузки. Въ виду того, что перечисленные факторы мо
гутъ измѣняться до безконечности, безконечны и формы деформаціи, которыя можетъ претерпѣвать куполъ. Для того, чтобы опредѣлить деформацію купола необходимо по даннымъ формѣ, конструкціи и силамъ, дѣйствующимъ на куполъ, опредѣлить равнодѣйствующія напряженій въ матеріалѣ, величины которыхъ отъ деформаціи купола не зависятъ, и затѣмъ по нимъ найти измѣ
неніе формы купола. Удобнѣе всего это сдѣлать графи
чески, но въ виду особенности нашей задачи — показать предѣлы, въ которыхъ будетъ заключаться кривая да
вленія купола при самыхъ неблагопріятныхъ условіяхъ проектированія, постараемся найти ея рѣшеніе аналитически, дѣлая наиболѣе невыгодныя допущенія.
Наименѣе выгодную форму купола въ смыслѣ распредѣленія напряженій въ матеріалѣ представляетъ куполъ сферическій, особенно куполъ постоянной толщины.
Въ сферическомъ куполѣ постоянной толщины верхнія кольца сжаты, нижнія растянуты; между тѣми и другими на параллели 51°50 , считая отъ замка, нахо
дится кольцо съ нулевымъ напряженіемъ, нейтральное кольцо. Нейтральное кольцо не деформируется, не де
формируется и кольцо у опоры. Допуская, что среднее кольцо между нейтральнымъ и опорнымъ подвергается
[*)] Это уравненіе вѣрно для куполовъ съ постояннымъ продольнымъ напряженіемъ; для куполовъ постоянной толщины это
уравняніе даетъ нѣсколько преувеличенную деформацію, ибо дуга AB въ данномъ случаѣ имѣетъ предѣльное напряженіе въ швахъ по параллели только въ кольцѣ у опоры.
[**)] Величина относительной деформаціи 0,001 вызываетъ въ
бетонѣ напряженіе при сжатіи, ровное 2 пуд. на 1 кв. дюйм.
наибольшему растяженію, получимъ для образующей между экваторомъ и нейтральнымъ кольцемъ наибольшее измѣненіе радіуса кривизны. На фиг. 23 изображено положеніе деформированной части образующей
Фиг. 23.
серединнаго купола (дуга AB обращается въ дугу AB_1) и измѣненіе радіуса кривизны и стрѣлки дуги. При обозначеніяхъ, показанныхъ на чертежѣ, не трудно составить слѣдующую систему уравненій
[☛]
Рѣшить эту систему можно при помощи попытокъ. Имѣя въ виду, что уголъ γ очень малъ, можно для
перваго (грубаго) приближенія положить γ = 0, но при этомъ брать величину стрѣлки f_1, зависящей отъ угла γ, нѣсколько преувеличенной.
Замѣнимъ буквенныя количества численными. Пусть ρ = 300 дюймовъ, i — 0,001 [**)]. Подставляя эти данныя въ уравненія и замѣчая, что
Подставляя эти величины въ систему и полагая γ = 0, найдемъ
Ѳ,ρ_1 = 99,82 дюйма,
f_1 = 16,49 + 0,27 = 16,76 дюйма, а по округленіи въ большую сторону 16,8 дюйма.
Напряженія, развивающіяся въ каждой точкѣ купола подъ вліяніемъ внѣшнихъ силъ, можно свести къ двумъ силамъ A и B, фиг. 22, дѣйствующимъ въ двухъ
Фиг. 22.
взаимно перпендикулярныхъ плоскостяхъ: A — въ плоскости меридіональной по касательной къ образующей и B — въ плоскости, проходящей черезъ параллель дан
ной точки, по радіусу параллели. Сила A производитъ сжатіе матеріала купола по касательной; силы B производятъ сжатіе или растяженіе кольца.
Вслѣдствіе неодинаковаго сжатія (или растяженія) колецъ измѣняется форма образующей. До деформаціи образующей всѣ фибры равномѣрно напряжены, почему равнодѣйствующая напряженій фибръ занимаетъ сере
динное положеніе; послѣ деформаціи длина однихъ фибръ увеличится, а другихъ уменьшится; пропорціо
нально этимъ деформаціямъ измѣнятся и напряженія фибръ, вслѣдствіе чего равнодѣйствующая отойдетъ отъ серединнаго положенія.
Деформація купола зависитъ отъ вида образующей, конструкціи, матеріала и отъ величины и способа нагрузки. Въ виду того, что перечисленные факторы мо
гутъ измѣняться до безконечности, безконечны и формы деформаціи, которыя можетъ претерпѣвать куполъ. Для того, чтобы опредѣлить деформацію купола необходимо по даннымъ формѣ, конструкціи и силамъ, дѣйствующимъ на куполъ, опредѣлить равнодѣйствующія напряженій въ матеріалѣ, величины которыхъ отъ деформаціи купола не зависятъ, и затѣмъ по нимъ найти измѣ
неніе формы купола. Удобнѣе всего это сдѣлать графи
чески, но въ виду особенности нашей задачи — показать предѣлы, въ которыхъ будетъ заключаться кривая да
вленія купола при самыхъ неблагопріятныхъ условіяхъ проектированія, постараемся найти ея рѣшеніе аналитически, дѣлая наиболѣе невыгодныя допущенія.
Наименѣе выгодную форму купола въ смыслѣ распредѣленія напряженій въ матеріалѣ представляетъ куполъ сферическій, особенно куполъ постоянной толщины.
Въ сферическомъ куполѣ постоянной толщины верхнія кольца сжаты, нижнія растянуты; между тѣми и другими на параллели 51°50 , считая отъ замка, нахо
дится кольцо съ нулевымъ напряженіемъ, нейтральное кольцо. Нейтральное кольцо не деформируется, не де
формируется и кольцо у опоры. Допуская, что среднее кольцо между нейтральнымъ и опорнымъ подвергается
[*)] Это уравненіе вѣрно для куполовъ съ постояннымъ продольнымъ напряженіемъ; для куполовъ постоянной толщины это
уравняніе даетъ нѣсколько преувеличенную деформацію, ибо дуга AB въ данномъ случаѣ имѣетъ предѣльное напряженіе въ швахъ по параллели только въ кольцѣ у опоры.
[**)] Величина относительной деформаціи 0,001 вызываетъ въ
бетонѣ напряженіе при сжатіи, ровное 2 пуд. на 1 кв. дюйм.
наибольшему растяженію, получимъ для образующей между экваторомъ и нейтральнымъ кольцемъ наибольшее измѣненіе радіуса кривизны. На фиг. 23 изображено положеніе деформированной части образующей
Фиг. 23.
серединнаго купола (дуга AB обращается въ дугу AB_1) и измѣненіе радіуса кривизны и стрѣлки дуги. При обозначеніяхъ, показанныхъ на чертежѣ, не трудно составить слѣдующую систему уравненій
[☛]
Рѣшить эту систему можно при помощи попытокъ. Имѣя въ виду, что уголъ γ очень малъ, можно для
перваго (грубаго) приближенія положить γ = 0, но при этомъ брать величину стрѣлки f_1, зависящей отъ угла γ, нѣсколько преувеличенной.
Замѣнимъ буквенныя количества численными. Пусть ρ = 300 дюймовъ, i — 0,001 [**)]. Подставляя эти данныя въ уравненія и замѣчая, что
Подставляя эти величины въ систему и полагая γ = 0, найдемъ
Ѳ,ρ_1 = 99,82 дюйма,
f_1 = 16,49 + 0,27 = 16,76 дюйма, а по округленіи въ большую сторону 16,8 дюйма.