нами снятъ и который лежитъ (или приведенъ) въ плоскость параллельную картинѣ и проходящую черезъ PH.
Всегда слѣдуетъ обращать вниманіе на то, въ какую именно сторону мы производимъ вращеніе при совмѣ
щеніи. Такъ при прохожденіи оси вращенія PH черезъ ближайшій уголъ рисунка и при совмѣщеніи рисунка кверху, совмѣщеніе точки зрѣнія O_1 будетъ книзу отъ PH, а при томъ же положеніи PH, но при совмѣщеніи рисунка книзу отъ нея, совмѣщеніе точки зрѣнія O_2 будетъ кверху отъ PH. При прохожденіи же оси вращенія черезъ дальнѣйшій уголъ рисунка точки зрѣнія будетъ совмѣщаться въ ту же сторону, какъ и рисунокъ.
Кромѣ того, совмѣщенія будутъ симметричны относительно оси вращенія такъ, что одно будетъ какъ бы отраженіемъ другого въ зеркалѣ. Такъ какъ обычно мы изображаемъ планъ зданія смотря на него сверху, то естественнѣе совмѣщать перспективный планъ кверху при вращеніи его плоскости около оси проходящей черезъ ближайшій уголъ и книзу при вращеніи около оси проходящей черезъ дальнѣйшій уголъ плана, но при этомъ слѣдуетъ имѣть въ виду то неудобство, что совмѣ
щеніе въ этомъ случаѣ придется вычерчивать на самомъ рисункѣ. При обратномъ же совмѣщеніи мы получимъ планъ симметричный искомому, то есть планъ, у котораго правая сторона зданія будетъ налѣво и наоборотъ. Поэтому наивыгоднѣшаго мѣста для проведенія оси PH, которая можетъ проходить и пересѣкая совмѣщаемый перспективный планъ и положенія самого сов
мѣщенія нельзя указать и на практикѣ приходится примѣняться къ каждому данному случаю.
Точки зданія, не лежащія въ совмѣщаемой плоскости слѣдуетъ такъ или иначе получить въ перспе
ктивѣ въ видѣ ортогональныхъ проекцій на эту плоскость. Это производится обычно при помощи пересѣченія зданія вертикальными плоскостями, проведен
ными перспективно. Получивъ перспективный планъ такихъ точекъ, съ проекціями ихъ слѣдуетъ поступать такъ же какъ и съ точками лежащими непосредственно въ совмѣщаемой плоскости. Вертикальныя дѣленія зданія переводятся въ плоскость параллельную картинѣ и проходящую черезъ ось вращенія PH также при помощи сѣченія перспективнаго изображенія вертикаль
ными плоскостями, гдѣ и измѣряются полученнымъ въ этой плоскости масштабомъ. Задача опредѣленна только
тогда, когда на фотографіи снято направленіе бисектрисы одного изъ прямыхъ угловъ между ребрами параллелепипеда
Третій случай. Дана фотографія параллелепипеда, причемъ при продолженіи перспективныхъ проекцій его реберъ всѣ три точки оказались на конечномъ разстояніи. Слѣдовательно при съемкѣ чувствительная пла
стинка не была параллельна ни одной группѣ реберъ параллелепипеда. Этотъ случай совершенно не разсма
тривается на курсахъ перспективы, между тѣмъ онъ представляетъ большой интересъ какъ въ теоретическомъ смыслѣ обобщенія метода перспективныхъ про
екцій. такъ и въ практическомъ отношеніи. Дѣло въ томъ, что этотъ случай встрѣчается чаще всего при съемкахъ ручными камерами, не имѣющими уклона матоваго стекла. Кромѣ того, этотъ случай имѣетъ и свои удобства, такъ какъ, если всѣ три точки схода проекцій реберъ параллелепипеда на конечномъ раз
стояніи, то задача становится вполнѣ опредѣленной и въ томъ случаѣ, если мы не знаемъ направленія бисектрисы прямого угла.
Самое построеніе, въ случаѣ когда имѣются три точки схода на конечномъ разстояніи, въ нѣкоторомъ отношеніи аналогично случаю, когда имѣется одна
безконечно удаленная точка. При одной безконечно удаленной точкѣ нужно было найти плоскій прямой уголъ опирающійся на двѣ имѣющіяся точки схода, въ случаѣ-же, когда имѣются всѣ три точки, нужно найти трегранный тѣлесный уголъ, всѣ плоскіе углы котораго были-бы прямые, а ребра опирались бы на полученныя три точки схода проекцій реберъ параллелепипеда.
Для ясности представимъ себѣ, что задача поставлена наоборотъ, то-есть намъ нужно по данной точкѣ зрѣнія и по данному положенію картины и параллеле
пипеда построить его перспективную проекцію. Для этого намъ нужно изъ точки зрѣнія провести лучи нараллельные тремъ направленіямъ реберъ параллеле
пипеда. Точки пересѣченія этихъ лучей съ картинной плоскостью и будутъ точками схода перспективныхъ проекцій соотвѣтственныхъ реберъ параллелепипеда. Проведенные-же нами лучи образуютъ трегранный уголъ равный соотвѣтственно расположенному трегранному
углу параллелепипеда, то-есть всѣ три плоскихъ угла его будутъ прямые. Обратно: если мы эти точки схода уже имѣемъ, и намъ нужно найти положеніе точки зрѣнія, то это будетъ такая точка, которая будетъ удо
влетворять условію, что если мы ее примемъ за точку зрѣнія, то наши точки будутъ точками схода проекцій реберъ параллелепипеда. Слѣдовательно, во всякомъ случаѣ, прямыя, проведенныя изъ этой точки къ тремъ имѣющимся точкамъ, должны образовать между собою прямые углы.
Разстояніе найденной точки отъ плоскости рисунка будетъ разстояніемъ точки зрѣнія отъ плоскости парал
лельной картинѣ или отъ самой картины, то-есть раз
стояніемъ отдаленія, а ортогональная проекція этой точки на плоскость рисунка будетъ центромъ картины,
Слѣдовательно задача сводится къ нахожденію вершины треграннаго угла съ прямыми плоскими углами и съ ребрами опирающимися на полученныя нами три точки схода перспективныхъ проекцій реберъ параллеле
пипеда. Для рѣшенія ея сначала докажемъ теорему, дающую основаніе для весьма простого рѣшенія этой задачи.
Теорема. Точка пересѣченія перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ вершинъ треугольника на противополож
ныя стороны есть ортогональная проекція вершины, трегранаго угла съ плоскими прямыми углами, опи
рающагося своими ребрами на вершины треугольника (или же эта точка есть одна, изъ вершинъ новаго тре
угольника, двѣ другія вершины котораго суть вершины даннаго треугольника, а третья вершина, даннаго треугольника въ этомъ случаҍ будетъ проекціей вершины треграннаго угла съ прямыми плоскими углами.)
Выраженіе въ скобкахъ — касается лишь тупоугольныхъ треугольниковъ, можетъ быть выражено какъ слѣд
ствіе первой части теоремы отнесенной исключительно къ остроугольнымъ треугольникамъ и въ перспектив
ной задачѣ о зданіи съ прямыми углами не имѣетъ мѣста.
Всегда слѣдуетъ обращать вниманіе на то, въ какую именно сторону мы производимъ вращеніе при совмѣ
щеніи. Такъ при прохожденіи оси вращенія PH черезъ ближайшій уголъ рисунка и при совмѣщеніи рисунка кверху, совмѣщеніе точки зрѣнія O_1 будетъ книзу отъ PH, а при томъ же положеніи PH, но при совмѣщеніи рисунка книзу отъ нея, совмѣщеніе точки зрѣнія O_2 будетъ кверху отъ PH. При прохожденіи же оси вращенія черезъ дальнѣйшій уголъ рисунка точки зрѣнія будетъ совмѣщаться въ ту же сторону, какъ и рисунокъ.
Кромѣ того, совмѣщенія будутъ симметричны относительно оси вращенія такъ, что одно будетъ какъ бы отраженіемъ другого въ зеркалѣ. Такъ какъ обычно мы изображаемъ планъ зданія смотря на него сверху, то естественнѣе совмѣщать перспективный планъ кверху при вращеніи его плоскости около оси проходящей черезъ ближайшій уголъ и книзу при вращеніи около оси проходящей черезъ дальнѣйшій уголъ плана, но при этомъ слѣдуетъ имѣть въ виду то неудобство, что совмѣ
щеніе въ этомъ случаѣ придется вычерчивать на самомъ рисункѣ. При обратномъ же совмѣщеніи мы получимъ планъ симметричный искомому, то есть планъ, у котораго правая сторона зданія будетъ налѣво и наоборотъ. Поэтому наивыгоднѣшаго мѣста для проведенія оси PH, которая можетъ проходить и пересѣкая совмѣщаемый перспективный планъ и положенія самого сов
мѣщенія нельзя указать и на практикѣ приходится примѣняться къ каждому данному случаю.
Точки зданія, не лежащія въ совмѣщаемой плоскости слѣдуетъ такъ или иначе получить въ перспе
ктивѣ въ видѣ ортогональныхъ проекцій на эту плоскость. Это производится обычно при помощи пересѣченія зданія вертикальными плоскостями, проведен
ными перспективно. Получивъ перспективный планъ такихъ точекъ, съ проекціями ихъ слѣдуетъ поступать такъ же какъ и съ точками лежащими непосредственно въ совмѣщаемой плоскости. Вертикальныя дѣленія зданія переводятся въ плоскость параллельную картинѣ и проходящую черезъ ось вращенія PH также при помощи сѣченія перспективнаго изображенія вертикаль
ными плоскостями, гдѣ и измѣряются полученнымъ въ этой плоскости масштабомъ. Задача опредѣленна только
тогда, когда на фотографіи снято направленіе бисектрисы одного изъ прямыхъ угловъ между ребрами параллелепипеда
Третій случай. Дана фотографія параллелепипеда, причемъ при продолженіи перспективныхъ проекцій его реберъ всѣ три точки оказались на конечномъ разстояніи. Слѣдовательно при съемкѣ чувствительная пла
стинка не была параллельна ни одной группѣ реберъ параллелепипеда. Этотъ случай совершенно не разсма
тривается на курсахъ перспективы, между тѣмъ онъ представляетъ большой интересъ какъ въ теоретическомъ смыслѣ обобщенія метода перспективныхъ про
екцій. такъ и въ практическомъ отношеніи. Дѣло въ томъ, что этотъ случай встрѣчается чаще всего при съемкахъ ручными камерами, не имѣющими уклона матоваго стекла. Кромѣ того, этотъ случай имѣетъ и свои удобства, такъ какъ, если всѣ три точки схода проекцій реберъ параллелепипеда на конечномъ раз
стояніи, то задача становится вполнѣ опредѣленной и въ томъ случаѣ, если мы не знаемъ направленія бисектрисы прямого угла.
Самое построеніе, въ случаѣ когда имѣются три точки схода на конечномъ разстояніи, въ нѣкоторомъ отношеніи аналогично случаю, когда имѣется одна
безконечно удаленная точка. При одной безконечно удаленной точкѣ нужно было найти плоскій прямой уголъ опирающійся на двѣ имѣющіяся точки схода, въ случаѣ-же, когда имѣются всѣ три точки, нужно найти трегранный тѣлесный уголъ, всѣ плоскіе углы котораго были-бы прямые, а ребра опирались бы на полученныя три точки схода проекцій реберъ параллелепипеда.
Для ясности представимъ себѣ, что задача поставлена наоборотъ, то-есть намъ нужно по данной точкѣ зрѣнія и по данному положенію картины и параллеле
пипеда построить его перспективную проекцію. Для этого намъ нужно изъ точки зрѣнія провести лучи нараллельные тремъ направленіямъ реберъ параллеле
пипеда. Точки пересѣченія этихъ лучей съ картинной плоскостью и будутъ точками схода перспективныхъ проекцій соотвѣтственныхъ реберъ параллелепипеда. Проведенные-же нами лучи образуютъ трегранный уголъ равный соотвѣтственно расположенному трегранному
углу параллелепипеда, то-есть всѣ три плоскихъ угла его будутъ прямые. Обратно: если мы эти точки схода уже имѣемъ, и намъ нужно найти положеніе точки зрѣнія, то это будетъ такая точка, которая будетъ удо
влетворять условію, что если мы ее примемъ за точку зрѣнія, то наши точки будутъ точками схода проекцій реберъ параллелепипеда. Слѣдовательно, во всякомъ случаѣ, прямыя, проведенныя изъ этой точки къ тремъ имѣющимся точкамъ, должны образовать между собою прямые углы.
Разстояніе найденной точки отъ плоскости рисунка будетъ разстояніемъ точки зрѣнія отъ плоскости парал
лельной картинѣ или отъ самой картины, то-есть раз
стояніемъ отдаленія, а ортогональная проекція этой точки на плоскость рисунка будетъ центромъ картины,
Слѣдовательно задача сводится къ нахожденію вершины треграннаго угла съ прямыми плоскими углами и съ ребрами опирающимися на полученныя нами три точки схода перспективныхъ проекцій реберъ параллеле
пипеда. Для рѣшенія ея сначала докажемъ теорему, дающую основаніе для весьма простого рѣшенія этой задачи.
Теорема. Точка пересѣченія перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ вершинъ треугольника на противополож
ныя стороны есть ортогональная проекція вершины, трегранаго угла съ плоскими прямыми углами, опи
рающагося своими ребрами на вершины треугольника (или же эта точка есть одна, изъ вершинъ новаго тре
угольника, двѣ другія вершины котораго суть вершины даннаго треугольника, а третья вершина, даннаго треугольника въ этомъ случаҍ будетъ проекціей вершины треграннаго угла съ прямыми плоскими углами.)
Выраженіе въ скобкахъ — касается лишь тупоугольныхъ треугольниковъ, можетъ быть выражено какъ слѣд
ствіе первой части теоремы отнесенной исключительно къ остроугольнымъ треугольникамъ и въ перспектив
ной задачѣ о зданіи съ прямыми углами не имѣетъ мѣста.