Для доказательства (черт. 3) опустимъ изъ вершинъ треугольника aвс на соотвѣтствующія стороны перпендикуляры, а на его сторонахъ, какъ на діаметрахъ, построимъ шаровыя поверхности. Эти поверхности пере
а, слѣдовательно, при проведеніи черезъ нее и черезъ вершины треугольника прямыхъ мы получимъ уголъ или больше или меньше прямого и она уже не будетъ удовлетворять условію.
Изъ этой теоремы между прочимъ слѣдуетъ, что такъ какъ вокругъ всякаго тетраэдра можно описать одну шаровую поверхность (черт. 4, центръ сферы въ
Черт. 3.
Черт. 4.
s), то всякій треугольникъ опредѣляетъ двѣ симметрично расположенныхъ шаровыхъ поверхности, обусловлен
ныхъ вышеприведенной теоремой, если же принять во вниманіе знаки, то одну.
На основаніи изложеннаго мы, имѣя три точки схода перспективныхъ проекцій параллелепипеда, легко можемъ опредѣлить всѣ нужныя намъ точки и линіи (черт. 5).
1) Горизонты (случайные) h_1 h_1, h_2 h_2 и h_3 h_3 получаются проведеніемъ прямыхъ черезъ найденныя точки схода f_1 _2 и f_3.
2) Центръ картины, то есть точка схода проекцій параллельныхъ центральному лучу, получается въ точкѣ
Черт. 5.
сѣкутъ плоскость чертежа по окружностямъ, проходящимъ черезъ точки пересѣченія проведенныхъ перпендикуляровъ со сторонами треугольника. Такъ напр. окружность принадлежащая шаровой поверхности, построен
ной на ас, будетъ имѣть ас своимъ діаметромъ, а, слѣ
довательно, она непремѣнно пройдетъ черезъ точки е и f, такъ какъ углы ∠аес и ∠ afc суть прямые. Тоже относится и къ другимъ окружностямъ.
Построенныя шаровыя поверхности, въ силу того, что ихъ центры лежатъ въ плоскости чертежа, пересѣкутся по окружностямъ, лежащимъ въ плоско
стяхъ перпендикулярныхъ плоскости чертежа, для которыхъ прямыя ec, bd и af будутъ діаметрами и въ тоже самое время ихъ ортогональными проек
ціями на плоскость чертежа. Изъ этого всего слѣдуетъ, что точка О есть проекція пересѣченія этихъ окружностей въ пространствѣ. Назовемъ эту точку, лежащую въ пространствѣ на перпендикулярѣ возстановленномъ къ плоскости чертежа изъ точки О при
надлежащую всѣмъ тремъ шаровымъ поверхностямъ, черезъ O_0. Тогда углы ∠bO_0 c, ∠bO_0 a и ∠ аO_0 с будутъ прямые, какъ опирающіеся на діаметры со
отвѣтственныхъ шаровыхъ сѣченій, что и требовалось доказать.
Нетрудно видѣть, что если мы возмемъ за основаніе треугольникъ а b O, то разсужденія останутся тѣми же самы
ми и такимъ образомъ, будетъ доказана и вторая часть теоремы. Очевидно, что точка O_0 только одна, потому что всякая иная точка будетъ лежать внѣ какой либо сферической поверхности,
а, слѣдовательно, при проведеніи черезъ нее и черезъ вершины треугольника прямыхъ мы получимъ уголъ или больше или меньше прямого и она уже не будетъ удовлетворять условію.
Изъ этой теоремы между прочимъ слѣдуетъ, что такъ какъ вокругъ всякаго тетраэдра можно описать одну шаровую поверхность (черт. 4, центръ сферы въ
Черт. 3.
Черт. 4.
s), то всякій треугольникъ опредѣляетъ двѣ симметрично расположенныхъ шаровыхъ поверхности, обусловлен
ныхъ вышеприведенной теоремой, если же принять во вниманіе знаки, то одну.
На основаніи изложеннаго мы, имѣя три точки схода перспективныхъ проекцій параллелепипеда, легко можемъ опредѣлить всѣ нужныя намъ точки и линіи (черт. 5).
1) Горизонты (случайные) h_1 h_1, h_2 h_2 и h_3 h_3 получаются проведеніемъ прямыхъ черезъ найденныя точки схода f_1 _2 и f_3.
2) Центръ картины, то есть точка схода проекцій параллельныхъ центральному лучу, получается въ точкѣ
Черт. 5.
сѣкутъ плоскость чертежа по окружностямъ, проходящимъ черезъ точки пересѣченія проведенныхъ перпендикуляровъ со сторонами треугольника. Такъ напр. окружность принадлежащая шаровой поверхности, построен
ной на ас, будетъ имѣть ас своимъ діаметромъ, а, слѣ
довательно, она непремѣнно пройдетъ черезъ точки е и f, такъ какъ углы ∠аес и ∠ afc суть прямые. Тоже относится и къ другимъ окружностямъ.
Построенныя шаровыя поверхности, въ силу того, что ихъ центры лежатъ въ плоскости чертежа, пересѣкутся по окружностямъ, лежащимъ въ плоско
стяхъ перпендикулярныхъ плоскости чертежа, для которыхъ прямыя ec, bd и af будутъ діаметрами и въ тоже самое время ихъ ортогональными проек
ціями на плоскость чертежа. Изъ этого всего слѣдуетъ, что точка О есть проекція пересѣченія этихъ окружностей въ пространствѣ. Назовемъ эту точку, лежащую въ пространствѣ на перпендикулярѣ возстановленномъ къ плоскости чертежа изъ точки О при
надлежащую всѣмъ тремъ шаровымъ поверхностямъ, черезъ O_0. Тогда углы ∠bO_0 c, ∠bO_0 a и ∠ аO_0 с будутъ прямые, какъ опирающіеся на діаметры со
отвѣтственныхъ шаровыхъ сѣченій, что и требовалось доказать.
Нетрудно видѣть, что если мы возмемъ за основаніе треугольникъ а b O, то разсужденія останутся тѣми же самы
ми и такимъ образомъ, будетъ доказана и вторая часть теоремы. Очевидно, что точка O_0 только одна, потому что всякая иная точка будетъ лежать внѣ какой либо сферической поверхности,