которое мы выдѣляемъ для разсмотрѣнія (черт. 2), для чего необходимо, чтобы это сѣченіе было достаточно удалено отъ мѣста закрѣпленія.
Въ виду этого не будемъ ограничивать размѣровъ бруса. Предположимъ, внѣшнія силы направлены параллельно оси бруса (оси OZ) сверху внизъ (черт. 2).
Ось OY въ тѣлѣ бруса не разсматривается, такъ какъ всѣ разсужденія относительно OX приложимы и
къ OY въ предположеніи изотропности матеріала бруса, а также постоянства неоднородности внѣшнихъ силъ. Если обозначимъ черезъ σ_z силу сжатія въ перпендику
лярной къ OZ площадкѣ, проведенной черезъ точку M (z, x), то для наклонной площадки, имѣющей слѣ
домъ въ плоскости XOZ линію mm подъ угломъ φ къ линіи OX, а по отношенію къ линіи OY расположенной параллельно, сила сжатія будетъ σ_z Cosφ. Разлагая
найденную силу сжатія σ_z Cosφ, которая въ площадкѣ mm будетъ вызывать косое напряженіе ρ_φ, геометри
чески на двѣ составляющія — нормальную къ площадкѣ mm σ_φ и сдвигающую τ_φ получимъ:
Если же принять во вниманіе физическія свойства тѣла, то получатся другія выраженія σ_φ и τ_φ, а косое
напряженіе ρ_φ будетъ образовать съ нормалью n n къ площадкѣ mm (черт. 2) уголъ ψ, который болѣе угла φ.
Допущеніе условія ψ = φ возможно только при пренебреженіи поперечнымъ расширеніемъ тѣла отъ продольнаго сжатія и поперечнымъ сжатіемъ отъ про
дольнаго растяженія, т. е. въ предположеніи тѣла идеально твердаго.
Пуассонъ оцѣнилъ отношеніе бокового расширенія къ продольному укороченію или бокового сжатія къ продольному удлиненію для бруса изъ опредѣленнаго
матеріала постояннымъ числомъ 1/к , но съ этимъ, какъ будетъ сейчасъ видно, нельзя согласиться.
Сперва докажемъ положеніе: въ площадкѣ mm съ нормалью подъ угломъ φ къ направленію внѣшнихъ силъ (черт. 2) относительный уголъ сдвига γ есть частная производная по φ отъ относительнаго укороченія или удлиненія, появляющагося отъ нормальнаго напря
сону, согласно съ формулой будетъ:
Черт 3.
гдѣ E — коэффиціентъ нормальной упругости и
относительное удлиненіе или сжатіе. Смѣщеніе фибръ матеріала при сдвигѣ найдется, какъ приращеніе относительной деформаціи съ приращеніемъ угла на Δφ:
Разстояніе между взаимно смѣщающимися фибрами, считаемое по дугѣ на единицу длины радіуса, будетъ Δφ. Отсюда относительный уголъ сдвига
Такимъ образомъ, сдвигающія напряженія появятся въ тѣхъ сѣченіяхъ, параллельно которымъ мѣняется по величинѣ растяженіе или сжатіе, отнесенное къ пло
щади сѣченій, перпендикулярныхъ къ первымъ. Но, вслѣдствіе совпаденія по величинѣ сдвигающихъ напряженій въ перпендикулярныхъ другъ къ другу площадкахъ, перемѣна нормальныхъ напряженій въ разсматри
ваемомъ сѣченіи вызываетъ сдвигающія напряженія въ томъ же сѣченіи, такъ что можно формулировать выше
приведенное положеніе проще: относительный уголъ сдвига въ площадкѣ mm, какъ деформація сдвигаю
щихъ напряженій есть частная производная по φ отъ укороченія или удлиненія, какъ деформаціи нормальныхъ напряженій въ той же самой площадкѣ mm, т. е.
Переход къ напряженію τ_φ, найдемъ
гдѣ G — коефиціентъ упругости при сдвигѣ. Такимъ образомъ, въ случаѣ простого растяженія или сжатія вы
сказанное выше положеніе не можетъ вызывать никакихъ сомнѣній, какъ это видно изъ чертежа 3, т. е. является положеніемъ доказаннымъ, а потому полученныя выра
женія σ_φ и τ_φ нужно признать правильными. Изслѣдуя найденныя выраженія σ_φ и τ_φ, мы найдемъ
женія въ площадкѣ подъ угломъ (π/2+φ) къ оси ОХ (черт. 3).
Въ самомъ дѣлѣ, для площадки подъ угломъ (π /2 + φ) деформація, если учесть поперечное расширеніе по Пуас
Въ виду этого не будемъ ограничивать размѣровъ бруса. Предположимъ, внѣшнія силы направлены параллельно оси бруса (оси OZ) сверху внизъ (черт. 2).
Ось OY въ тѣлѣ бруса не разсматривается, такъ какъ всѣ разсужденія относительно OX приложимы и
къ OY въ предположеніи изотропности матеріала бруса, а также постоянства неоднородности внѣшнихъ силъ. Если обозначимъ черезъ σ_z силу сжатія въ перпендику
лярной къ OZ площадкѣ, проведенной черезъ точку M (z, x), то для наклонной площадки, имѣющей слѣ
домъ въ плоскости XOZ линію mm подъ угломъ φ къ линіи OX, а по отношенію къ линіи OY расположенной параллельно, сила сжатія будетъ σ_z Cosφ. Разлагая
найденную силу сжатія σ_z Cosφ, которая въ площадкѣ mm будетъ вызывать косое напряженіе ρ_φ, геометри
чески на двѣ составляющія — нормальную къ площадкѣ mm σ_φ и сдвигающую τ_φ получимъ:
Если же принять во вниманіе физическія свойства тѣла, то получатся другія выраженія σ_φ и τ_φ, а косое
напряженіе ρ_φ будетъ образовать съ нормалью n n къ площадкѣ mm (черт. 2) уголъ ψ, который болѣе угла φ.
Допущеніе условія ψ = φ возможно только при пренебреженіи поперечнымъ расширеніемъ тѣла отъ продольнаго сжатія и поперечнымъ сжатіемъ отъ про
дольнаго растяженія, т. е. въ предположеніи тѣла идеально твердаго.
Пуассонъ оцѣнилъ отношеніе бокового расширенія къ продольному укороченію или бокового сжатія къ продольному удлиненію для бруса изъ опредѣленнаго
матеріала постояннымъ числомъ 1/к , но съ этимъ, какъ будетъ сейчасъ видно, нельзя согласиться.
Сперва докажемъ положеніе: въ площадкѣ mm съ нормалью подъ угломъ φ къ направленію внѣшнихъ силъ (черт. 2) относительный уголъ сдвига γ есть частная производная по φ отъ относительнаго укороченія или удлиненія, появляющагося отъ нормальнаго напря
сону, согласно съ формулой будетъ:
Черт 3.
гдѣ E — коэффиціентъ нормальной упругости и
относительное удлиненіе или сжатіе. Смѣщеніе фибръ матеріала при сдвигѣ найдется, какъ приращеніе относительной деформаціи съ приращеніемъ угла на Δφ:
Разстояніе между взаимно смѣщающимися фибрами, считаемое по дугѣ на единицу длины радіуса, будетъ Δφ. Отсюда относительный уголъ сдвига
Такимъ образомъ, сдвигающія напряженія появятся въ тѣхъ сѣченіяхъ, параллельно которымъ мѣняется по величинѣ растяженіе или сжатіе, отнесенное къ пло
щади сѣченій, перпендикулярныхъ къ первымъ. Но, вслѣдствіе совпаденія по величинѣ сдвигающихъ напряженій въ перпендикулярныхъ другъ къ другу площадкахъ, перемѣна нормальныхъ напряженій въ разсматри
ваемомъ сѣченіи вызываетъ сдвигающія напряженія въ томъ же сѣченіи, такъ что можно формулировать выше
приведенное положеніе проще: относительный уголъ сдвига въ площадкѣ mm, какъ деформація сдвигаю
щихъ напряженій есть частная производная по φ отъ укороченія или удлиненія, какъ деформаціи нормальныхъ напряженій въ той же самой площадкѣ mm, т. е.
Переход къ напряженію τ_φ, найдемъ
гдѣ G — коефиціентъ упругости при сдвигѣ. Такимъ образомъ, въ случаѣ простого растяженія или сжатія вы
сказанное выше положеніе не можетъ вызывать никакихъ сомнѣній, какъ это видно изъ чертежа 3, т. е. является положеніемъ доказаннымъ, а потому полученныя выра
женія σ_φ и τ_φ нужно признать правильными. Изслѣдуя найденныя выраженія σ_φ и τ_φ, мы найдемъ
женія въ площадкѣ подъ угломъ (π/2+φ) къ оси ОХ (черт. 3).
Въ самомъ дѣлѣ, для площадки подъ угломъ (π /2 + φ) деформація, если учесть поперечное расширеніе по Пуас