Черт. 6.
Для даннаго сдвига γ, параллельнаго OX, найдемъ полный сдвигъ въ площадкѣ mm и по параллелограмму силъ просуммируемъ напряженіе отъ сдвига съ полученнымъ нормальнымъ напряженіемъ, чтобы найти ко
сое напряженіе наклонной площадки mm. Для этого косой сдвигъ τ_zx приведемъ къ двумъ эквивалентнымъ обыкновеннымъ сдвигамъ, такъ какъ удлиненіе δ_φ от
вѣчающее напряженію σ_φ является въ свою очередь
сдвигомъ въ площадкѣ nn относительно параллельной ей площадки, проходящей черезъ точку O′, каковой сдвигъ для площадки mm долженъ быть принятъ во вниманіе, какъ искаженіе прямого угла nOm, но только отъ вращенія около точки O″ противъ часовой стрѣлки.
Такимъ образомъ, касательная составляющая τ _φ не бу
детъ полнымъ сдвигающимъ напряженіемъ въ площадкѣ mm, потому что искаженіе прямого угла между пло
щадками mm и nn (черт. 6), производимое косымъ сдвигомъ MM , слагается изъ двухъ искаженій: 1) отъ составляющей сдвига по направленію параллельно пло
щадкѣ mm, равной MM_1 съ угломъ сдвига а; 2) отъ составляющей сдвига по направленію параллельно пло
щадкѣ nn, равной MM_2 съ угломъ сдвига β. Эти два искаженія можно разсматривать происходящими отъ двухъ вращеній по схемѣ черт. 4 по часовой стрѣлкѣ и черт. 5 противъ часовой стрѣлки. Уголъ кривого искаженія или вращенія α найдется изъ треугольниковъ
Другое перемѣщеніе
MM_2 точки M, происходящее отъ сдвига на уголъ β при разстояніи перемѣщающейся точки М отъ неподвижной O на r , найдется изъ треугольниковъ
Углы искаженій или углы составляющихъ сдвиговъ α и β суть углы вращенія, причемъ уголъ β получается отъ
β Въ самомъ дѣлѣ, на черт. 6 уголъ α уменьшаетъ уголъ а, т. е. уголъ α есть результатъ вращенія въ сторону обратную въ сравненіи съ угломъ а. Для всего же прямого угла nOm нужно взять уменьшеніе угла α не на величину α , а на величину всего β. Поэтому въ результатѣ искаженіе для прямого угла nOm будетъ
и полное на
пряженіе отъ сдвига въ площадкѣ mm :
Тотъ же результатъ получается, если взять прямо производную по φ отъ относительнаго удлиненія,
какъ это было показано для случая напряженія отъ простого сжатія и растяженія. Удлиненіе
что и требовалось доказать. И такъ, высказанное выше положеніе, выражающее зависимость между нормальными и сдвигающими напряженіями, доказано для слу
чая простого растяженія или сжатія, затѣмъ для случая одного только сдвига; слѣдовательно, оно доказано и для случая самаго сложнаго напряженія, и мы его формулируемъ вообще:
гдѣ предположено, что E и G - тоже
функціи угла φ, а не постоянныя въ зависимости только отъ рода матеріала.
полное косое напряженіе для площадки mm въ слѣдующемъ видѣ:
Для даннаго сдвига γ, параллельнаго OX, найдемъ полный сдвигъ въ площадкѣ mm и по параллелограмму силъ просуммируемъ напряженіе отъ сдвига съ полученнымъ нормальнымъ напряженіемъ, чтобы найти ко
сое напряженіе наклонной площадки mm. Для этого косой сдвигъ τ_zx приведемъ къ двумъ эквивалентнымъ обыкновеннымъ сдвигамъ, такъ какъ удлиненіе δ_φ от
вѣчающее напряженію σ_φ является въ свою очередь
сдвигомъ въ площадкѣ nn относительно параллельной ей площадки, проходящей черезъ точку O′, каковой сдвигъ для площадки mm долженъ быть принятъ во вниманіе, какъ искаженіе прямого угла nOm, но только отъ вращенія около точки O″ противъ часовой стрѣлки.
Такимъ образомъ, касательная составляющая τ _φ не бу
детъ полнымъ сдвигающимъ напряженіемъ въ площадкѣ mm, потому что искаженіе прямого угла между пло
щадками mm и nn (черт. 6), производимое косымъ сдвигомъ MM , слагается изъ двухъ искаженій: 1) отъ составляющей сдвига по направленію параллельно пло
щадкѣ mm, равной MM_1 съ угломъ сдвига а; 2) отъ составляющей сдвига по направленію параллельно пло
щадкѣ nn, равной MM_2 съ угломъ сдвига β. Эти два искаженія можно разсматривать происходящими отъ двухъ вращеній по схемѣ черт. 4 по часовой стрѣлкѣ и черт. 5 противъ часовой стрѣлки. Уголъ кривого искаженія или вращенія α найдется изъ треугольниковъ
Другое перемѣщеніе
MM_2 точки M, происходящее отъ сдвига на уголъ β при разстояніи перемѣщающейся точки М отъ неподвижной O на r , найдется изъ треугольниковъ
Углы искаженій или углы составляющихъ сдвиговъ α и β суть углы вращенія, причемъ уголъ β получается отъ
поворота въ сторону обратную въ сравненіи съ угломъ
β Въ самомъ дѣлѣ, на черт. 6 уголъ α уменьшаетъ уголъ а, т. е. уголъ α есть результатъ вращенія въ сторону обратную въ сравненіи съ угломъ а. Для всего же прямого угла nOm нужно взять уменьшеніе угла α не на величину α , а на величину всего β. Поэтому въ результатѣ искаженіе для прямого угла nOm будетъ
и полное на
пряженіе отъ сдвига въ площадкѣ mm :
Тотъ же результатъ получается, если взять прямо производную по φ отъ относительнаго удлиненія,
какъ это было показано для случая напряженія отъ простого сжатія и растяженія. Удлиненіе
что и требовалось доказать. И такъ, высказанное выше положеніе, выражающее зависимость между нормальными и сдвигающими напряженіями, доказано для слу
чая простого растяженія или сжатія, затѣмъ для случая одного только сдвига; слѣдовательно, оно доказано и для случая самаго сложнаго напряженія, и мы его формулируемъ вообще:
гдѣ предположено, что E и G - тоже
функціи угла φ, а не постоянныя въ зависимости только отъ рода матеріала.
Суммируя σ_φ и σ_φ геометрически, мы получимъ
полное косое напряженіе для площадки mm въ слѣдующемъ видѣ: