по таблицамъ уже найдены и соотвѣтственно равны 3,33 арш. и 8,66 арш.
Поверхность бочарнаго свода
S = sˏ s— 3,33. 8,66 = 28,84 кв. арш.
Объемъ свода при средней толщинѣ его а = 0,37 арш.
V = Sa = 28,84. 0,37 = 10,67 куб. арш.
Если назовемъ толщину свода въ замкѣ черезъ а и предположимъ, что внѣшняя его поверхность есть также бочарный сводъ, при двухъ концентрическихъ кривыхъ (чер. 27), то при данныхъ с и cˏ неизмѣнныхъ, слѣдуетъ опредѣлить возвышеніе плоскости началъ внѣшней поверхности надъ внутреннею, т. е. а′. Принявъ О за начало координатъ и проведя оси x и y, получимъ:
уˏ^2 = rˏ^2 —x^2, у^2 = r^2 —x^2 Исключивъ x^2, найдемъ:
rˏˏ^2 — r^2 = уˏ^2 — у^2 = (yˏ + y) (yˏ — у).
Откуда при помощи равенства r′ = r + а получимъ:
Изъ этого видно, что а′ обратно пропорціональна суммѣ ординатъ уˏ + у, которые уменьшаются съ увеличеніемъ абсциссы; слѣдовательно а′ будетъ возрастать съ возрастаніемъ х. Объемъ свода, выраженный черезъ а′, будетъ:
V = а′с′с..... (Δ).
Причемъ предполагается, что кривыя производящія для внутренней и наружной поверхности приняты за равныя.
При этомъ подсводныя пространства обоихъ сводовъ могутъ быть приняты за равныя, но только взятыя на различныхъ вы
сотахъ плоскости началъ. Замѣтимъ еще, что послѣдняя формула даетъ болѣе точный выводъ при малой разности между с и с′.
Численный примѣръ. Даны: с = 4 ар., с′ = 4,33 ар., r = 4,87 ар., а = 0,37 ар. Требуется опредѣлить объемъ бочарнаго свода, выразивъ его при помощи сˏс′ и а .
Отыщемъ предварительно а′, для чего воспользуемся таблицами абсциссъ и ординатъ, такъ какъ а′ = у′ — у.
Для нашего примѣра абсцисса x = 2 ар., отношеніе-же ея къ
Найдя въ графѣ абсциссъ число 0,41, получимъ ординату 0,91208, соотвѣтствующую радіусу = 1.
Для нашего-же примѣра у = 0,91208 ☓ 4,87 = 4,44 ар.
При той-же абсциссѣ х = 2, но при радіусѣ rˏ = r + а = = 4,87 + 0,37 = 5,24 ар.
и для выраженія искомаго объема получимъ: r
Замѣтимъ, что, принимая за направляющую дугу круга и полагая d = 900, будемъ имѣть:
выраженіе, согласное съ найденнымъ раньше.
При d = о: Cotg а =∞ и w обращается въ нуль,
Для опредѣленія объема отрѣзка по способу Симпсона, нужно стрѣлку f раздѣлить на нѣсколько равныхъ частей, число которыхъ должно быть четное и провести черезъ эти дѣленія горизонтальныя плоскости; эти плоскости въ пересѣченіи съ поверхностью дадутъ треугольники, площадь которыхъ выражается формулою:
гдѣ x есть основаніе треугольника, опредѣляемое для каждой ординаты у изъ уравненія
a^2 y^2 +r^2 x^2 = a^2 r^2,
которое въ частномъ случаѣ при а = r обращается въ
Затѣмъ искомый объемъ опредѣлится по извѣстной формулѣ.
[**)] Ордината эта, впрочемъ, можетъ быть найдена и по вышеприведеннымъ формуламъ, а именно:
Ордината, соотвѣтствующая абсциссѣ 0,38 при радіусѣ =1, будетъ 0,924; для нашего-же примѣра yˏ = 0,924. 5,24 = 4,84 ар.
Откуда аˏ = yˏ — у = 4,84 — 4,44 = 0,40 ар.
Вставляя данныя и найденную величину въ формулу (Δ) получимъ:
V = 4.4,33. 0,40 = 6,93 куб. ар.
Поверхность шара = 4 πr^2 = πd^2 = 3,1416d.
Поверхность сфер, сегмента при стрѣлкѣ f = 2πrf.
Данныя эти достаточны для разсчета купольныхъ и вообще сферическихъ сводовъ. Помощью ихъ находимъ:
1) Объемъ отрѣзковъ сегмента w и сектора w, заключенныхъ между двумя меридіональными плоскостями при углѣ ß° (чер. 29):
Для опредѣленія объема паруса, вычислимъ сначала объемъ отрѣзка 1/8 части шара, ограниченнаго вертикальными плоскостями вписаннаго въ немъ куба (чер. 31).
Искомый объемъ:
w = wˏ — wˏˏ
wˏ есть объемъ 1/8 части шара, а wˏˏ объемъ 3/4 сегмента при стрѣлкѣ f, слѣдовательно
Объемъ подсводнаго пространства четверти плоскаго паруснаго свода (черт. 32), взятаго отъ плоскости началъ, проходящей чрезъ центръ шаровой поверхности, опредѣлится по формулѣ:
гдѣ w, объемъ 1/8 части шара при радіусѣ r; w″ объемъ сегмента при стрѣлкѣ f = r — а;
радіусу
3) Объемъ w отрѣзка кольца купольнаго свода, между двумя меридіональными плоскостями при углѣ ß и стрѣлкахъ F.F , ff (мер. ЗО).
точно также мо
жетъ быть найдена и у″. Выгода способа, употребленнаго въ численномъ примѣрѣ, заключается въ томъ, что дѣйствіе извлеченья корней замѣняется въ немъ другими, болѣе простыми.
Поверхность бочарнаго свода
S = sˏ s— 3,33. 8,66 = 28,84 кв. арш.
Объемъ свода при средней толщинѣ его а = 0,37 арш.
V = Sa = 28,84. 0,37 = 10,67 куб. арш.
Если назовемъ толщину свода въ замкѣ черезъ а и предположимъ, что внѣшняя его поверхность есть также бочарный сводъ, при двухъ концентрическихъ кривыхъ (чер. 27), то при данныхъ с и cˏ неизмѣнныхъ, слѣдуетъ опредѣлить возвышеніе плоскости началъ внѣшней поверхности надъ внутреннею, т. е. а′. Принявъ О за начало координатъ и проведя оси x и y, получимъ:
уˏ^2 = rˏ^2 —x^2, у^2 = r^2 —x^2 Исключивъ x^2, найдемъ:
rˏˏ^2 — r^2 = уˏ^2 — у^2 = (yˏ + y) (yˏ — у).
Откуда при помощи равенства r′ = r + а получимъ:
Изъ этого видно, что а′ обратно пропорціональна суммѣ ординатъ уˏ + у, которые уменьшаются съ увеличеніемъ абсциссы; слѣдовательно а′ будетъ возрастать съ возрастаніемъ х. Объемъ свода, выраженный черезъ а′, будетъ:
V = а′с′с..... (Δ).
Причемъ предполагается, что кривыя производящія для внутренней и наружной поверхности приняты за равныя.
При этомъ подсводныя пространства обоихъ сводовъ могутъ быть приняты за равныя, но только взятыя на различныхъ вы
сотахъ плоскости началъ. Замѣтимъ еще, что послѣдняя формула даетъ болѣе точный выводъ при малой разности между с и с′.
Численный примѣръ. Даны: с = 4 ар., с′ = 4,33 ар., r = 4,87 ар., а = 0,37 ар. Требуется опредѣлить объемъ бочарнаго свода, выразивъ его при помощи сˏс′ и а .
Отыщемъ предварительно а′, для чего воспользуемся таблицами абсциссъ и ординатъ, такъ какъ а′ = у′ — у.
Для нашего примѣра абсцисса x = 2 ар., отношеніе-же ея къ
Найдя въ графѣ абсциссъ число 0,41, получимъ ординату 0,91208, соотвѣтствующую радіусу = 1.
[*)]
Для нашего-же примѣра у = 0,91208 ☓ 4,87 = 4,44 ар.
При той-же абсциссѣ х = 2, но при радіусѣ rˏ = r + а = = 4,87 + 0,37 = 5,24 ар.
и для выраженія искомаго объема получимъ: r
***
Замѣтимъ, что, принимая за направляющую дугу круга и полагая d = 900, будемъ имѣть:
выраженіе, согласное съ найденнымъ раньше.
При d = о: Cotg а =∞ и w обращается въ нуль,
Для опредѣленія объема отрѣзка по способу Симпсона, нужно стрѣлку f раздѣлить на нѣсколько равныхъ частей, число которыхъ должно быть четное и провести черезъ эти дѣленія горизонтальныя плоскости; эти плоскости въ пересѣченіи съ поверхностью дадутъ треугольники, площадь которыхъ выражается формулою:
гдѣ x есть основаніе треугольника, опредѣляемое для каждой ординаты у изъ уравненія
a^2 y^2 +r^2 x^2 = a^2 r^2,
которое въ частномъ случаѣ при а = r обращается въ
у^2 + x^2 = r^2.
Затѣмъ искомый объемъ опредѣлится по извѣстной формулѣ.
[**)] Ордината эта, впрочемъ, можетъ быть найдена и по вышеприведеннымъ формуламъ, а именно:
Ордината, соотвѣтствующая абсциссѣ 0,38 при радіусѣ =1, будетъ 0,924; для нашего-же примѣра yˏ = 0,924. 5,24 = 4,84 ар.
Откуда аˏ = yˏ — у = 4,84 — 4,44 = 0,40 ар.
Вставляя данныя и найденную величину въ формулу (Δ) получимъ:
V = 4.4,33. 0,40 = 6,93 куб. ар.
Купольные своды.
Поверхность шара = 4 πr^2 = πd^2 = 3,1416d.
Поверхность сфер, сегмента при стрѣлкѣ f = 2πrf.
Данныя эти достаточны для разсчета купольныхъ и вообще сферическихъ сводовъ. Помощью ихъ находимъ:
1) Объемъ отрѣзковъ сегмента w и сектора w, заключенныхъ между двумя меридіональными плоскостями при углѣ ß° (чер. 29):
Для опредѣленія объема паруса, вычислимъ сначала объемъ отрѣзка 1/8 части шара, ограниченнаго вертикальными плоскостями вписаннаго въ немъ куба (чер. 31).
Искомый объемъ:
w = wˏ — wˏˏ
wˏ есть объемъ 1/8 части шара, а wˏˏ объемъ 3/4 сегмента при стрѣлкѣ f, слѣдовательно
Объемъ подсводнаго пространства четверти плоскаго паруснаго свода (черт. 32), взятаго отъ плоскости началъ, проходящей чрезъ центръ шаровой поверхности, опредѣлится по формулѣ:
гдѣ w, объемъ 1/8 части шара при радіусѣ r; w″ объемъ сегмента при стрѣлкѣ f = r — а;
радіусу
3) Объемъ w отрѣзка кольца купольнаго свода, между двумя меридіональными плоскостями при углѣ ß и стрѣлкахъ F.F , ff (мер. ЗО).
точно также мо
жетъ быть найдена и у″. Выгода способа, употребленнаго въ численномъ примѣрѣ, заключается въ томъ, что дѣйствіе извлеченья корней замѣняется въ немъ другими, болѣе простыми.