такъ какъ OD есть величина извѣстная, то можемъ найти DF = r″, слѣдовательно и f″. По этимъ даннымъ можетъ быть опредѣлена искомая площадь полусегмента; такимъ-же образомъ опредѣлятся
и всѣ другія площади, получающіяся въ подобныхъ сѣченіяхъ и затѣмъ по извѣстной формулѣ найдется объемъ w^1v.
Объемъ-же собственно плоскаго паруснаго свода найдется, если при тѣхъ-же данныхъ будемъ имѣть еще величины R и R′ радіусовъ шаровыхъ поверхностей наружной и внутренней;
стоитъ только вычесть изъ подсводнаго пространства при радіусѣ R подсводное пространство при радіусѣ R′.
Распалубка въ планѣ ocd (черт. 33) можетъ быть отрѣзкомъ паруснаго свода, очерченнаго радіусомъ od, равнымъ по
лудіагонали. Объемъ подсводнаго пространства получится по Симпсону, вычисляя площади сѣченій плоскостями, перпендику
изъ сегмента круга при радіусѣ gh и отверстіи kl и изъ прямоугольника, у котораго одна сторона kl а другая l m ордината большаго круга (котораго радіусъ r) при абсциссѣ о l′; сѣ
, сѣченіе въ
Такого-же вида распалубки могутъ быть опредѣлены равными кривыми по діагонолямъ ос и od (напр. эллипсами) и кривою по fо, предполагая, что поверхность, въ сѣченіяхъ перпендику
лярныхъ къ of, даетъ извѣстнаго рода кривыя (большею частію дуги круга) имѣющія пяты свои на кривыхъ ос и od и вершины на кривой of.
Очевидно, что вычисленіе объема подсводнаго пространства приводится при этомъ къ предыдущему случаю.
Поверхность этихъ распалубокъ найдется, раздѣливъ длину кривой of на четное число равныхъ частей и опредѣливъ ординаты въ точкахъ дѣленія, равныя кривымъ cd, kl и другимъ.
Поверхность куполовъ опредѣляется по теоремѣ Гульдена [(*)]. Поверхность византійскаго купола (черт. 34) при данныхъ:
а—половинѣ наибольшаго расширенія купола и h—возвышеніи вершины надъ горизонтальною плоскостью, проходящею черезъ линію наибольшаго расширенія, выразится формулою:
гдѣ S—разсматриваемая поверхность, s—длина нижней кривой bf и sˏ—длина верхней кривой bс; х и хˏ—соотвѣтственныя разстоянія центровъ тяжести дугъ до оси ос. лярными къ of; напримѣръ сѣченіе при
или ченіе плоскости cd есть полукругъ при радіусѣ =
w‴ объемъ сегмента при стрѣлкѣ f′ — r — а;
Объемы w′, w″ и w‴ опредѣляются на основаніи извѣстныхъ данныхъ, а объемъ w^1v можетъ быть вычисленъ по формулѣ Симпсона. Для этого раздѣлимъ дугу AB на четное число п равныхъ частей и проведемъ чрезъ точки дѣленія рядъ параллельныхъ плоскостей. Пусть DF представляетъ одну изъ этихъ плос
сѣченіи ея съ объемомъ w^1ѵ получится сегментъ круга при стрѣлкѣ HF=f″ и радіусѣ DF— r″; но DF есть абсцисса боль
зная γ, найдется γˏ = γ — 30°. 2γ, есть центральный уголъ дуги bс. По данной хордѣ и центральному углу могутъ быть опредѣлены стрѣлка fˏ и радіусъ rˏ самой дуги; дѣйствительно:
Замѣтка о винтовомъ сводѣ. Объемъ винтового свода получается отъ перемноженія площади поперечнаго сѣченія на длину винтовой линіи, описанной каждою точкою вертикальной оси этаго сѣченія. — Поэтому, для приведенія вопроса къ извѣстнымъ началамъ, достаточно знать, какъ опредѣляется вообще длина винтовой линіи (чер. 35). Винтовая линія есть линія двоякой кривизны, получающаяся отъ движенія точки но поверхности цилиндра такимъ образомъ, что для равныхъ дугъ основанія цилиндра соотвѣтствуютъ равные пути, пройденные точкою парал
лельно оси. Винтовая линія можетъ быть также разсматриваема какъ кратчайшее разстояніе между двумя точками на поверхности цилиндра; представивъ цилиндръ развернутымъ въ плоскость, полу
чимъ прямоугольникъ, длина основанія котораго равна длинѣ окружности основанія цилиндра, а высота равна высотѣ цилиндра;
винтовая линія въ разверткѣ представится прямою-діагоналыо этого прямоугольника.
у = ах
верхности цилиндра для каждой дуги основанія, принятой за единицу).
Такимъ образомъ, для всякой величины х, взятой на основаніи цилиндра, можетъ быть найдена соотвѣтственная ордината у.
Ордината, соотвѣтствующая абсциссѣ х, равной цѣлой окружности основанія, выражается такъ:
(гдѣ r радіусъ основанія цилиндра), и называется шагомъ винтовой линіи, причемъ сама линія дѣлаетъ полный оборотъ. Отсюда слѣдуетъ, что винтовая линія можетъ быть также задана величиною шага, тогда а найдется изъ уравненія:
Изъ предыдущаго также слѣдуетъ, что нѣкоторая длина L, взятая но винтовой линіи, при извѣстной абсциссѣ х, выразиться формулою:
Для полнаго оборота получимъ:
Такимъ образомъ, въ примѣненіи къ винтовымъ сводамъ, вопросъ сдѣлается вполнѣ опредѣленнымъ, когда при данномъ по
перечномъ сѣченіи свода извѣстна винтовая линія, соотвѣтствую
щая вертикальной оси свода. Начертаніе самой линіи, какъ это видно на чертежѣ, не представляетъ затрудненій.
шаго круга при ординатѣ слѣдовательно
и всѣ другія площади, получающіяся въ подобныхъ сѣченіяхъ и затѣмъ по извѣстной формулѣ найдется объемъ w^1v.
Объемъ-же собственно плоскаго паруснаго свода найдется, если при тѣхъ-же данныхъ будемъ имѣть еще величины R и R′ радіусовъ шаровыхъ поверхностей наружной и внутренней;
стоитъ только вычесть изъ подсводнаго пространства при радіусѣ R подсводное пространство при радіусѣ R′.
Объемъ распалубки при крестовыхъ сводахъ сложнаго
образованія.
Распалубка въ планѣ ocd (черт. 33) можетъ быть отрѣзкомъ паруснаго свода, очерченнаго радіусомъ od, равнымъ по
лудіагонали. Объемъ подсводнаго пространства получится по Симпсону, вычисляя площади сѣченій плоскостями, перпендику
состоитъ
изъ сегмента круга при радіусѣ gh и отверстіи kl и изъ прямоугольника, у котораго одна сторона kl а другая l m ордината большаго круга (котораго радіусъ r) при абсциссѣ о l′; сѣ
, сѣченіе въ
точкѣ О равно нулю.
Такого-же вида распалубки могутъ быть опредѣлены равными кривыми по діагонолямъ ос и od (напр. эллипсами) и кривою по fо, предполагая, что поверхность, въ сѣченіяхъ перпендику
лярныхъ къ of, даетъ извѣстнаго рода кривыя (большею частію дуги круга) имѣющія пяты свои на кривыхъ ос и od и вершины на кривой of.
Очевидно, что вычисленіе объема подсводнаго пространства приводится при этомъ къ предыдущему случаю.
Поверхность этихъ распалубокъ найдется, раздѣливъ длину кривой of на четное число равныхъ частей и опредѣливъ ординаты въ точкахъ дѣленія, равныя кривымъ cd, kl и другимъ.
Поверхность куполовъ опредѣляется по теоремѣ Гульдена [(*)]. Поверхность византійскаго купола (черт. 34) при данныхъ:
а—половинѣ наибольшаго расширенія купола и h—возвышеніи вершины надъ горизонтальною плоскостью, проходящею черезъ линію наибольшаго расширенія, выразится формулою:
S — (s x +s′ х′) 2 π,
гдѣ S—разсматриваемая поверхность, s—длина нижней кривой bf и sˏ—длина верхней кривой bс; х и хˏ—соотвѣтственныя разстоянія центровъ тяжести дугъ до оси ос. лярными къ of; напримѣръ сѣченіе при
или ченіе плоскости cd есть полукругъ при радіусѣ =
w‴ объемъ сегмента при стрѣлкѣ f′ — r — а;
w^1ѵ объемъ отрѣзка между двумя вертикальными плоскостями, проходящими на разстояніи а я b отъ центра.
Объемы w′, w″ и w‴ опредѣляются на основаніи извѣстныхъ данныхъ, а объемъ w^1v можетъ быть вычисленъ по формулѣ Симпсона. Для этого раздѣлимъ дугу AB на четное число п равныхъ частей и проведемъ чрезъ точки дѣленія рядъ параллельныхъ плоскостей. Пусть DF представляетъ одну изъ этихъ плос
отъ плоскости КС; въ пере
сѣченіи ея съ объемомъ w^1ѵ получится сегментъ круга при стрѣлкѣ HF=f″ и радіусѣ DF— r″; но DF есть абсцисса боль
а АВ= AG— b, гдѣ AG есть ордината большаго круга при абсциссѣ а.
[*)] Недзялковскій, стр. 148.
зная γ, найдется γˏ = γ — 30°. 2γ, есть центральный уголъ дуги bс. По данной хордѣ и центральному углу могутъ быть опредѣлены стрѣлка fˏ и радіусъ rˏ самой дуги; дѣйствительно:
Величины s и sˏ находятся въ таблицахъ.
Замѣтка о винтовомъ сводѣ. Объемъ винтового свода получается отъ перемноженія площади поперечнаго сѣченія на длину винтовой линіи, описанной каждою точкою вертикальной оси этаго сѣченія. — Поэтому, для приведенія вопроса къ извѣстнымъ началамъ, достаточно знать, какъ опредѣляется вообще длина винтовой линіи (чер. 35). Винтовая линія есть линія двоякой кривизны, получающаяся отъ движенія точки но поверхности цилиндра такимъ образомъ, что для равныхъ дугъ основанія цилиндра соотвѣтствуютъ равные пути, пройденные точкою парал
лельно оси. Винтовая линія можетъ быть также разсматриваема какъ кратчайшее разстояніе между двумя точками на поверхности цилиндра; представивъ цилиндръ развернутымъ въ плоскость, полу
чимъ прямоугольникъ, длина основанія котораго равна длинѣ окружности основанія цилиндра, а высота равна высотѣ цилиндра;
винтовая линія въ разверткѣ представится прямою-діагоналыо этого прямоугольника.
На этомъ основаніи, для уравненія винтовой линіи, можемъ принять:
у = ах
гдѣ а есть величина постоянная, соотвѣтствующая угловому коэффиціенту прямой линіи, взятой на развернутой поверхности (или величина, на которую подвигается точка параллельно оси по по
верхности цилиндра для каждой дуги основанія, принятой за единицу).
Такимъ образомъ, для всякой величины х, взятой на основаніи цилиндра, можетъ быть найдена соотвѣтственная ордината у.
Ордината, соотвѣтствующая абсциссѣ х, равной цѣлой окружности основанія, выражается такъ:
h = а . 2 π r.
(гдѣ r радіусъ основанія цилиндра), и называется шагомъ винтовой линіи, причемъ сама линія дѣлаетъ полный оборотъ. Отсюда слѣдуетъ, что винтовая линія можетъ быть также задана величиною шага, тогда а найдется изъ уравненія:
Изъ предыдущаго также слѣдуетъ, что нѣкоторая длина L, взятая но винтовой линіи, при извѣстной абсциссѣ х, выразиться формулою:
Для полнаго оборота получимъ:
Такимъ образомъ, въ примѣненіи къ винтовымъ сводамъ, вопросъ сдѣлается вполнѣ опредѣленнымъ, когда при данномъ по
перечномъ сѣченіи свода извѣстна винтовая линія, соотвѣтствую
щая вертикальной оси свода. Начертаніе самой линіи, какъ это видно на чертежѣ, не представляетъ затрудненій.
П. Сальмоновичъ.
костей, взятую на разстояніи
шаго круга при ординатѣ слѣдовательно