Сумма ихъ составитъ
1/3 а^2 (р_2 +р_1) ☓ 2b — Rr
Но кромѣ, того, алгебраическая сумма слагающихъ должна равняться равнодѣйствующей; въ данномъ случаѣ равнодѣйствующая равна нулю, а слагающія суть:
Слѣдовательно: Откуда
Р_2 = Р_1
Подставляя въ уравненіе моментовъ, получимъ:
* *
До сихъ поръ наши изслѣдованія относились къ тому случаю, когда данная площадь ω способна сопротивляться разрыву.
Но если тѣло ничѣмъ не связано съ опорою, а только свободно опирается на нее, то сопротивленія разрыву но существуетъ; тогда сила R можетъ производить въ опорной площади только сжатіе; посмотримъ, какъ именно и на какія именно части данной площади распредѣлится это сжатіе.
Положимъ что XX (черт. 32) есть линія, отдѣляющая сжимаемую часть площади ХbХ отъ части ХаХ, не подвергающейся никакому усилію. Назовемъ черезъ q величину hh′, т. е. напря
женіе на единицу площади въ точкахъ, отстоящихъ отъ XX на разстояніе линейной единицы; тогда давленіе на элементъ площади dω, находящійся отъ XX на разстояніи z, будетъ:
q .dω = q.z. dω
Сумма такихъ элементарныхъ давленій должна равняться R: слѣдовательно:
dω.z есть моментъ элемента площади dω относительно оси XX; сумма такихъ элементарныхъ моментовъ составитъ моментъ площади Xd X; называя эту площадь черезъ ω , а разстояніе ея центра тяжести до оси XX черезъ X , получимъ;
R = q. ω . х′...... (1.)
Далѣе, сумма моментовъ элементарныхъ давленій относительно оси XX должна быть равна моменту силы R относительно той же оси; моментъ элементарнаго давленія будетъ:
(q. z. dω) ☓ z = q. z^2 dω.
Слѣдовательно:
оси XX; называя черезъ М моментъ инерціи этой площади относительно оси параллельной линіи XX и проходящей черезъ собственный центръ тяжести площади ω , получимъ:
R (х + с) = q (М‘ +ω′ x ^2)..... (2)
Изъ двухъ уравненій (1) и (2) можемъ опредѣлить q и х; раздѣляя (2) на (1), имѣемъ:
совершенно согласно съ полученнымъ выше.
т. е. вся площадь подвергается давленію, и ось XX совпадаетъ съ ребромъ а, что согласно съ прежнимъ выводомъ нашимъ для
Сравнимъ положенія линіи XX при различныхъ значеніяхъ с съ тѣми, какія мы получили выше, допуская сопротивленіе опорной площади разрыву.
***
т. е. q_2 всегда будетъ вдвое болѣе противъ того, какое было бы при равномѣрномъ распредѣленіи давленія по той части площади, на которую оно передается. Слѣдовательно:
X+с = 2 (а — с), т. е. давленію подвергается часть площади, на длинѣ отъ b до х (х+a) равной тройному разстоянію bт (а — с): или разстояніе тх (х+с) отъ точки приложенія силы
R до предѣла давленія XX, будетъ всегда вдвое болѣе разстоянія mb, отъ точки приложенія силы R до ближайшаго крайняго, наиболѣе напряженнаго ребра площади.
Наибольшее напряженіе на единицу площади при этомъ будетъ: Подставляя эти величины, получимъ:
Величины х′, M′ и ω могутъ быть, при данномъ очертаніи площади со, выражены въ зависимости отъ х, и тогда изъ уравненія (3) величина x вполнѣ опредѣляется. Напримѣръ, для прямоугольной площади:
Наибольшее давленіе будетъ:
1/3 а^2 (р_2 +р_1) ☓ 2b — Rr
Но кромѣ, того, алгебраическая сумма слагающихъ должна равняться равнодѣйствующей; въ данномъ случаѣ равнодѣйствующая равна нулю, а слагающія суть:
Слѣдовательно: Откуда
Р_2 = Р_1
Подставляя въ уравненіе моментовъ, получимъ:
* *
До сихъ поръ наши изслѣдованія относились къ тому случаю, когда данная площадь ω способна сопротивляться разрыву.
Но если тѣло ничѣмъ не связано съ опорою, а только свободно опирается на нее, то сопротивленія разрыву но существуетъ; тогда сила R можетъ производить въ опорной площади только сжатіе; посмотримъ, какъ именно и на какія именно части данной площади распредѣлится это сжатіе.
Положимъ что XX (черт. 32) есть линія, отдѣляющая сжимаемую часть площади ХbХ отъ части ХаХ, не подвергающейся никакому усилію. Назовемъ черезъ q величину hh′, т. е. напря
женіе на единицу площади въ точкахъ, отстоящихъ отъ XX на разстояніе линейной единицы; тогда давленіе на элементъ площади dω, находящійся отъ XX на разстояніи z, будетъ:
q .dω = q.z. dω
Сумма такихъ элементарныхъ давленій должна равняться R: слѣдовательно:
dω.z есть моментъ элемента площади dω относительно оси XX; сумма такихъ элементарныхъ моментовъ составитъ моментъ площади Xd X; называя эту площадь черезъ ω , а разстояніе ея центра тяжести до оси XX черезъ X , получимъ;
R = q. ω . х′...... (1.)
Далѣе, сумма моментовъ элементарныхъ давленій относительно оси XX должна быть равна моменту силы R относительно той же оси; моментъ элементарнаго давленія будетъ:
(q. z. dω) ☓ z = q. z^2 dω.
Слѣдовательно:
оси XX; называя черезъ М моментъ инерціи этой площади относительно оси параллельной линіи XX и проходящей черезъ собственный центръ тяжести площади ω , получимъ:
R (х + с) = q (М‘ +ω′ x ^2)..... (2)
Изъ двухъ уравненій (1) и (2) можемъ опредѣлить q и х; раздѣляя (2) на (1), имѣемъ:
совершенно согласно съ полученнымъ выше.
т. е. вся площадь подвергается давленію, и ось XX совпадаетъ съ ребромъ а, что согласно съ прежнимъ выводомъ нашимъ для
Сравнимъ положенія линіи XX при различныхъ значеніяхъ с съ тѣми, какія мы получили выше, допуская сопротивленіе опорной площади разрыву.
***
т. е. q_2 всегда будетъ вдвое болѣе противъ того, какое было бы при равномѣрномъ распредѣленіи давленія по той части площади, на которую оно передается. Слѣдовательно:
X+с = 2 (а — с), т. е. давленію подвергается часть площади, на длинѣ отъ b до х (х+a) равной тройному разстоянію bт (а — с): или разстояніе тх (х+с) отъ точки приложенія силы
R до предѣла давленія XX, будетъ всегда вдвое болѣе разстоянія mb, отъ точки приложенія силы R до ближайшаго крайняго, наиболѣе напряженнаго ребра площади.
Наибольшее напряженіе на единицу площади при этомъ будетъ: Подставляя эти величины, получимъ:
Величины х′, M′ и ω могутъ быть, при данномъ очертаніи площади со, выражены въ зависимости отъ х, и тогда изъ уравненія (3) величина x вполнѣ опредѣляется. Напримѣръ, для прямоугольной площади:
Наибольшее давленіе будетъ: