Въ первомъ случаѣ порядокъ построенія будетъ тотъ-же самый, какъ и прежде, (черт. 34); полученная линія а Ъ‘ пройдетъ частью выше аb, частью ниже ея; ординаты первой части соот
вѣтствуютъ давленіямъ, второй, усиліямъ разрывающимъ; площадь
треугольника хbb выразитъ всю величину нормальнаго къ ab давленія, а площадь треугольника хаа — всю величину нормальнаго
къ ab разрывающаго усилія; точки приложенія всего давленія и всего разрывающаго усилія будутъ въ центрахъ тяжести треугольниковъ; разность этихъ площадей, какъ и быть должно, представитъ нормальную слагающую силы R.
Во второмъ случаѣ порядокъ построенія еще проще; отложивъ
тх = 2тb (черт. 35), получимъ точку х (ибо, какъ мы вывели
выше, (x+c) = 2(а — с); затѣмъ, раздѣливъ хb пополамъ, и въ точкѣ дѣленія с, проведя линію параллельную направленію силы
R, отложимъ на нейпо масштабу силъ, а по аb от
ложимъ с_1 а = 1 по масштабу линій; соединивъ R′ съ x и проведя а″ с_1″ параллельно хR′, получимъ сс′, выражающую величину сред
няго давленія на единицу площади; линія хс b будетъ изображать распредѣленіе давленія по площади хb.
Иногда приходится перейти отъ перваго случая ко второму; положимъ, что, построивши распредѣленіе напряженій по плоско
сти, сопротивляющейся разрыву, мы потомъ должны были бы узнать, какъ распредѣлятся усилія, если способность сопротивляться разрыву перестанетъ существовать. [*)]
Замѣтимъ, что нормальная слагающая силы R, (черт. 36) равняется разности площадей треугольниковъ bb х и аа‘х; если изъ точки а проведемъ а′b параллельно а b , затѣмъ b соединимъ съ
х и продолжимъ до а, изъ а проведемъ аb′ параллельно α b′, и b″′соединимъ съ х, то площадь треугольника b′″bх будетъ рав
няться разности площадей b bх и b b ″′х·, но послѣдняя равняется площади треугольника аа х, ибо
b b′″аа = ах: bх;
слѣдовательно, площадь треугольника b″′bх равняется нормальной слагающей силы R; остается преобразовать этотъ треугольникъ въ такой, который имѣлъ бы вершину въ точкѣ х′ (х′т = 2тb);
для этого соединяемъ х съ b′″, и изъ х проводимъ хb^ӀѴ параллельно х b″′ треугольникъ b^ӀѴ bх′ и будетъ искомый.
Въ практикѣ приходится разсматривать только нормальныя къ плоскости аb давленія, такъ какъ только онѣ обусловливаютъ неравномѣрность давленія; въ самомъ дѣлѣ, пропорціональность давленій на единицу площади въ разныхъ точкахъ площади будетъ та-же самая, когда мы наклонную силу R разложимъ по дай
ной площади аb на элементарныя силы ей параллельныя, или когда сперва опредѣлимъ ея слагающія: одну — нормальную къ аb,
другую — дѣйствующую въ плоскости аb, и первую разложимъ на параллельныя ой, т. е. нормальныя къ плоскости ab элементарныя
усилія, а слагающую, дѣйствующую въ плоскости аb, оставимъ безъ вниманія, какъ неимѣющую вліянія па неравномѣрность распредѣленія давленія
Этими замѣтками мы ограничимся въ нашемъ разсмотрѣніи давленія, дѣйствующаго на данную площадь не въ центрѣ ея тяжести, и затѣмъ перейдемъ снова къ изслѣдованію клина.
***
Пусть на призматическій клинъ а_0 b^° а_п b_п (черт. 37) дѣйствуютъ какія ни есть внѣшнія силы p_1, р_2, р_3 ....р_n , которыхъ общая
равнодѣйствующая есть Р_n. Разлагая ее извѣстнымъ намъ уже порядкомъ, т. е. проведя черезъ центры тяжести опорныхъ пло
щадей нормали
равновѣсія линіями О_0 А и O_n B, и соединивъ точку M съ точками О_0 и O_n получимъ направленія давленій на опоры MO_0 и МO_n.
Для опредѣленія величины этихъ давленій строимъ на сторонѣ чертежъ силъ, т. е., проведя Оп параллельно направленію Р_п, и отложивъ отъ О до п величипу силы P_n по масштабу силъ, про
водимъ Or параллельно МО_0 и пr параллельно О_п M; величины Or и rп изобразятъ по масштабу силъ давленія на опоры R_0 и R_n,
[*)] Такой случай вполнѣ возможенъ въ практикѣ, напримѣръ, когда сцѣпленіе плоскостей между собою произведено сравнительно слабо-вяжущімъ веществомъ, въ первый моментъ будетъ проявляться разрывающее усиліе, которое можетъ раз
рушить сцѣпленіе, и тогда уже площадь сопротивляется только давленію, т. е. является новое распредѣленіе усилій.
[*)] Разныя свойства веревочныхъ многоугольниковъ подробно разсматриваются въ статикѣ аналитической и графической. Мы предполагаемъ ихъ
вполнѣ извѣстными читателю, и если напоминаемъ здѣсь о двухъ изъ этихъ свойствъ, то только потому, что особенно часто будемъ ими пользоваться.
Свойства веревочныхъ многоугольниковъ хорошо изложены въ брошюрѣ Ф. Штейнера: «Die grapliische Zusammensetzung der Kräfte››. Wien 1876.
Сила P_n, разлагаясь по направленіямъ MO_0 и MO_n, и производя давленія на опоры а_0 b_0 и а_п b_n, вызываетъ въ опорахъ со
противленія, равныя и прямопротивоположныя этимъ давленіямъ, такъ что если мы совершенно устранимъ опоры, а вмѣсто нихъ
приложимъ къ клину въ точкахъ т_0 и т_n но направленіямъ O_0 М и О_п M силы, равныя по величинѣ давленіямъ R_0 и R_n, то эти силы будутъ въ равновѣсіи съ силою Р_п, или, что все равно, съ силами p_1, p_2, p_3 .....р_n.
Разсмотримъ обстоятельства этого равновѣсія.
Прежде всего построимъ полный чертежъ силъ, т. е. нанесемъ на него въ послѣдовательномъ порядкѣ, по правиламъ графической статики’, силы p_1, p_2, p_3 .....р_n., начиная отъ точки О; проведя О — 1
параллельно р_1 отложимъ на ней по масштабу силъ O -1—р_1, за тѣмъ 1—2=р_2, 2—3=р_3 и т. д.; очевидно, конечная точка многоугольника силъ 0—1—2—3..... должна совпасть съ точкою п, ибо Оп по величинѣ и по направленію выражаетъ силу равнодѣйствующую силъ p_1, p_2, p_3 .....р_n..
Затѣмъ обратимся къ разсматриваемому клину:
Въ точкѣ т_0 по направленію т_0 M дѣйствуетъ сила R_0, которою мы замѣнили опору а_0 b_0; величина ея на чертежѣ силъ есть rО. Въ точкѣ I сила R_0 встрѣчаетъ силу р_1 съ которою вмѣстѣ онѣ образуютъ нѣкоторую равнодѣйствующую, величина и направ
леніе которой опредѣляется на чертежѣ силъ діагональю r — 1.
Поэтому черезъ точку I проведемъ линію параллельную діагонали r — 1, которая па чертежѣ клина представитъ направленіе силы Д, равнодѣйствующей R_0, и р-1.
Въ точкѣ ІІ сила R_1 соединяется съ силою p_2, образуя равнодѣйствующую R_2, параллельную діагонали r — 2, и выражающуюся ея величиною,
Очевидно, что R_2 есть равнодѣйствующая силы R_0 и двухъ силъ p_1 и р_2
Если назовемъ: P_1 — равнодѣйствующую одной первой силы, т. е. p_1, (P_1 = p_1); Р_2 — равнодѣйствующую двухъ первыхъ силъ, т. е. p_1 и p_2; Р_3 — равнодѣйствующую трехъ первыхъ силъ, т. е.
р_1, р_2 и p_3, и т. д., то R_2 будетъ равнодѣйствующая силъ R_0 и P_2 и потому направленіе ея, проведенное изъ точки II параллельно діагонали r — 2, должно проходитъ черезъ точку 2 , гдѣ P_2 встрѣчаетъ сопротивленіе опоры R_0.
Въ точкѣ III произойдетъ соединеніе R_2 и p_3, дающее силу R_3. параллельную діагонали r — 3; она должна проходить черезъ точку 3′ гдѣ R_3 встрѣчаетъ R_0.
Продолжая такимъ образомъ, дойдемъ до точки N, въ которой сила R_n_1 соединится съ силою р_п, образуя равнодѣйствующую равную и прямо противуположную сопротивленію опоры R_п (ибо всѣ силы находятся между собою въ равновѣсіи); какъ и быть должно,
направленіе R_n проходитъ черезъ точку встрѣчи R_0 и Р_п, т. е. черезъ точку M.
Іакимъ ооразомъ на чертежѣ клина получается очертаніе много
угольника О_0 — I — II— III.....N- 0_n, извѣстнаго въ статикѣ, подъ несовсѣмъ подходящимъ названіемъ веревочнаго многоугольника. и который мы здѣсь будемъ называть многоугольникомъ давленія.
Многоугольники давленія, какъ вообще веревочные многоугольники, имѣютъ, между прочимъ, два слѣдующія свойства, которыми мы часто будемъ пользоваться: [*)]
1) Двѣ какія ни есть стороны многоугольника давленія пересѣкаются между собою на направленіи равнодѣйствующей всѣхъ
силъ, находящихся между ними. Напримѣръ стороны II — III и
О_п - N (черт. 38) пересѣкутся между собою въ точкѣ 3 на направленіи силы P_3 , равнодѣйствующей всѣхъ силъ, начиная отъ
p_3 до р_п включительно.
2) Если вмѣсто силы R_0 мы начнемъ построеніе многоуголь
ника давленія съ какой ни есть другой силы R′_0 (черт 39), пересѣкающей направленіе силы R-0 въ какой ни ость точкѣ 0_0, то стороны второго многоугольника О_о—I′—ӀӀ′—IIӀ′....N — O_n бу
дутъ пересѣкаться съ соотвѣтственными сторонами перваго О_о—І
II—III....N—О_п, въ точкахъ О_0, O_1, O_2, O_3.... O_n находящихся на направленіи одной прямой O_0 O_n, параллельной прямой соединяющей на чертежѣ силъ два полюса r и r , соотвѣтствующихъ обоимъ многоугольникамъ.
Первымъ свойствомъ, между прочимъ, можно воспользоваться
для простѣйшаго начертанія многоугольника давленія.
вѣтствуютъ давленіямъ, второй, усиліямъ разрывающимъ; площадь
треугольника хbb выразитъ всю величину нормальнаго къ ab давленія, а площадь треугольника хаа — всю величину нормальнаго
къ ab разрывающаго усилія; точки приложенія всего давленія и всего разрывающаго усилія будутъ въ центрахъ тяжести треугольниковъ; разность этихъ площадей, какъ и быть должно, представитъ нормальную слагающую силы R.
Во второмъ случаѣ порядокъ построенія еще проще; отложивъ
тх = 2тb (черт. 35), получимъ точку х (ибо, какъ мы вывели
выше, (x+c) = 2(а — с); затѣмъ, раздѣливъ хb пополамъ, и въ точкѣ дѣленія с, проведя линію параллельную направленію силы
R, отложимъ на нейпо масштабу силъ, а по аb от
ложимъ с_1 а = 1 по масштабу линій; соединивъ R′ съ x и проведя а″ с_1″ параллельно хR′, получимъ сс′, выражающую величину сред
няго давленія на единицу площади; линія хс b будетъ изображать распредѣленіе давленія по площади хb.
Иногда приходится перейти отъ перваго случая ко второму; положимъ, что, построивши распредѣленіе напряженій по плоско
сти, сопротивляющейся разрыву, мы потомъ должны были бы узнать, какъ распредѣлятся усилія, если способность сопротивляться разрыву перестанетъ существовать. [*)]
Замѣтимъ, что нормальная слагающая силы R, (черт. 36) равняется разности площадей треугольниковъ bb х и аа‘х; если изъ точки а проведемъ а′b параллельно а b , затѣмъ b соединимъ съ
х и продолжимъ до а, изъ а проведемъ аb′ параллельно α b′, и b″′соединимъ съ х, то площадь треугольника b′″bх будетъ рав
няться разности площадей b bх и b b ″′х·, но послѣдняя равняется площади треугольника аа х, ибо
b b′″аа = ах: bх;
слѣдовательно, площадь треугольника b″′bх равняется нормальной слагающей силы R; остается преобразовать этотъ треугольникъ въ такой, который имѣлъ бы вершину въ точкѣ х′ (х′т = 2тb);
для этого соединяемъ х съ b′″, и изъ х проводимъ хb^ӀѴ параллельно х b″′ треугольникъ b^ӀѴ bх′ и будетъ искомый.
Въ практикѣ приходится разсматривать только нормальныя къ плоскости аb давленія, такъ какъ только онѣ обусловливаютъ неравномѣрность давленія; въ самомъ дѣлѣ, пропорціональность давленій на единицу площади въ разныхъ точкахъ площади будетъ та-же самая, когда мы наклонную силу R разложимъ по дай
ной площади аb на элементарныя силы ей параллельныя, или когда сперва опредѣлимъ ея слагающія: одну — нормальную къ аb,
другую — дѣйствующую въ плоскости аb, и первую разложимъ на параллельныя ой, т. е. нормальныя къ плоскости ab элементарныя
усилія, а слагающую, дѣйствующую въ плоскости аb, оставимъ безъ вниманія, какъ неимѣющую вліянія па неравномѣрность распредѣленія давленія
Этими замѣтками мы ограничимся въ нашемъ разсмотрѣніи давленія, дѣйствующаго на данную площадь не въ центрѣ ея тяжести, и затѣмъ перейдемъ снова къ изслѣдованію клина.
***
Пусть на призматическій клинъ а_0 b^° а_п b_п (черт. 37) дѣйствуютъ какія ни есть внѣшнія силы p_1, р_2, р_3 ....р_n , которыхъ общая
равнодѣйствующая есть Р_n. Разлагая ее извѣстнымъ намъ уже порядкомъ, т. е. проведя черезъ центры тяжести опорныхъ пло
щадей нормали
равновѣсія линіями О_0 А и O_n B, и соединивъ точку M съ точками О_0 и O_n получимъ направленія давленій на опоры MO_0 и МO_n.
Для опредѣленія величины этихъ давленій строимъ на сторонѣ чертежъ силъ, т. е., проведя Оп параллельно направленію Р_п, и отложивъ отъ О до п величипу силы P_n по масштабу силъ, про
водимъ Or параллельно МО_0 и пr параллельно О_п M; величины Or и rп изобразятъ по масштабу силъ давленія на опоры R_0 и R_n,
[*)] Такой случай вполнѣ возможенъ въ практикѣ, напримѣръ, когда сцѣпленіе плоскостей между собою произведено сравнительно слабо-вяжущімъ веществомъ, въ первый моментъ будетъ проявляться разрывающее усиліе, которое можетъ раз
рушить сцѣпленіе, и тогда уже площадь сопротивляется только давленію, т. е. является новое распредѣленіе усилій.
[*)] Разныя свойства веревочныхъ многоугольниковъ подробно разсматриваются въ статикѣ аналитической и графической. Мы предполагаемъ ихъ
вполнѣ извѣстными читателю, и если напоминаемъ здѣсь о двухъ изъ этихъ свойствъ, то только потому, что особенно часто будемъ ими пользоваться.
Свойства веревочныхъ многоугольниковъ хорошо изложены въ брошюрѣ Ф. Штейнера: «Die grapliische Zusammensetzung der Kräfte››. Wien 1876.
Сила P_n, разлагаясь по направленіямъ MO_0 и MO_n, и производя давленія на опоры а_0 b_0 и а_п b_n, вызываетъ въ опорахъ со
противленія, равныя и прямопротивоположныя этимъ давленіямъ, такъ что если мы совершенно устранимъ опоры, а вмѣсто нихъ
приложимъ къ клину въ точкахъ т_0 и т_n но направленіямъ O_0 М и О_п M силы, равныя по величинѣ давленіямъ R_0 и R_n, то эти силы будутъ въ равновѣсіи съ силою Р_п, или, что все равно, съ силами p_1, p_2, p_3 .....р_n.
Разсмотримъ обстоятельства этого равновѣсія.
Прежде всего построимъ полный чертежъ силъ, т. е. нанесемъ на него въ послѣдовательномъ порядкѣ, по правиламъ графической статики’, силы p_1, p_2, p_3 .....р_n., начиная отъ точки О; проведя О — 1
параллельно р_1 отложимъ на ней по масштабу силъ O -1—р_1, за тѣмъ 1—2=р_2, 2—3=р_3 и т. д.; очевидно, конечная точка многоугольника силъ 0—1—2—3..... должна совпасть съ точкою п, ибо Оп по величинѣ и по направленію выражаетъ силу равнодѣйствующую силъ p_1, p_2, p_3 .....р_n..
Затѣмъ обратимся къ разсматриваемому клину:
Въ точкѣ т_0 по направленію т_0 M дѣйствуетъ сила R_0, которою мы замѣнили опору а_0 b_0; величина ея на чертежѣ силъ есть rО. Въ точкѣ I сила R_0 встрѣчаетъ силу р_1 съ которою вмѣстѣ онѣ образуютъ нѣкоторую равнодѣйствующую, величина и направ
леніе которой опредѣляется на чертежѣ силъ діагональю r — 1.
Поэтому черезъ точку I проведемъ линію параллельную діагонали r — 1, которая па чертежѣ клина представитъ направленіе силы Д, равнодѣйствующей R_0, и р-1.
Въ точкѣ ІІ сила R_1 соединяется съ силою p_2, образуя равнодѣйствующую R_2, параллельную діагонали r — 2, и выражающуюся ея величиною,
Очевидно, что R_2 есть равнодѣйствующая силы R_0 и двухъ силъ p_1 и р_2
Если назовемъ: P_1 — равнодѣйствующую одной первой силы, т. е. p_1, (P_1 = p_1); Р_2 — равнодѣйствующую двухъ первыхъ силъ, т. е. p_1 и p_2; Р_3 — равнодѣйствующую трехъ первыхъ силъ, т. е.
р_1, р_2 и p_3, и т. д., то R_2 будетъ равнодѣйствующая силъ R_0 и P_2 и потому направленіе ея, проведенное изъ точки II параллельно діагонали r — 2, должно проходитъ черезъ точку 2 , гдѣ P_2 встрѣчаетъ сопротивленіе опоры R_0.
Въ точкѣ III произойдетъ соединеніе R_2 и p_3, дающее силу R_3. параллельную діагонали r — 3; она должна проходить черезъ точку 3′ гдѣ R_3 встрѣчаетъ R_0.
Продолжая такимъ образомъ, дойдемъ до точки N, въ которой сила R_n_1 соединится съ силою р_п, образуя равнодѣйствующую равную и прямо противуположную сопротивленію опоры R_п (ибо всѣ силы находятся между собою въ равновѣсіи); какъ и быть должно,
направленіе R_n проходитъ черезъ точку встрѣчи R_0 и Р_п, т. е. черезъ точку M.
Іакимъ ооразомъ на чертежѣ клина получается очертаніе много
угольника О_0 — I — II— III.....N- 0_n, извѣстнаго въ статикѣ, подъ несовсѣмъ подходящимъ названіемъ веревочнаго многоугольника. и который мы здѣсь будемъ называть многоугольникомъ давленія.
Многоугольники давленія, какъ вообще веревочные многоугольники, имѣютъ, между прочимъ, два слѣдующія свойства, которыми мы часто будемъ пользоваться: [*)]
1) Двѣ какія ни есть стороны многоугольника давленія пересѣкаются между собою на направленіи равнодѣйствующей всѣхъ
силъ, находящихся между ними. Напримѣръ стороны II — III и
О_п - N (черт. 38) пересѣкутся между собою въ точкѣ 3 на направленіи силы P_3 , равнодѣйствующей всѣхъ силъ, начиная отъ
p_3 до р_п включительно.
2) Если вмѣсто силы R_0 мы начнемъ построеніе многоуголь
ника давленія съ какой ни есть другой силы R′_0 (черт 39), пересѣкающей направленіе силы R-0 въ какой ни ость точкѣ 0_0, то стороны второго многоугольника О_о—I′—ӀӀ′—IIӀ′....N — O_n бу
дутъ пересѣкаться съ соотвѣтственными сторонами перваго О_о—І
II—III....N—О_п, въ точкахъ О_0, O_1, O_2, O_3.... O_n находящихся на направленіи одной прямой O_0 O_n, параллельной прямой соединяющей на чертежѣ силъ два полюса r и r , соотвѣтствующихъ обоимъ многоугольникамъ.
Первымъ свойствомъ, между прочимъ, можно воспользоваться
для простѣйшаго начертанія многоугольника давленія.