Назовемъ, въ дополненіе къ предыдущему:
Р_1 — равнодѣйствующую всѣхъ данныхъ силъ отъ р_1 до р_n вклю
чительно (т. e. Р_1= Р_n).
Р _2 — равнодѣйствующую данныхъ силъ отъ р_2 до р_n включительно. Р_3′ — тоже отъ до
Р — тоже отъ р_4 до р_п и т. д., до
Р _n — отъ Р_п до р_п (т. е. Р _n = p_n)
Обозначимъ черезъ 1.2,3 (черт. 40) точки встрѣчи этихъ равнодѣйствующихъ съ направленіемъ R_п, подобно тому, какъ черезъ 1′, 2′,3′,(n-1) обозначены точки встрѣчи равнодѣйствующихъ P_1, P_2, Р_3 ...Р_n съ направленіемъ R_0 (очевидно, что 1 и (n-1) совпадутъ съ точкою M).
Если положенія равнодѣйствующихъ Р_1......Р_п и P _1......Р’_n на чертежѣ клина опредѣлены предварительно, то по разложеніи Р_n на R_о и R_n. для начертанія многоугольника давленія стоитъ только послѣдовательно соединить между собою попарно 1′ съ 2 . 2′ съ
3″ 3 съ 4 и т. д.; при атомъ линіи 1 — 2 и 2′—3 пересѣкутъ непремѣнно силу р_2 въ одной и той же точкѣ II, линіи 2 —3″ и 3 — 4″ пересѣкутъ силу р_3 обѣ въ одной точкѣ III, и т. д. (очевидно, что точка I будетъ въ точкѣ 1 , и точка N въ точкѣ п″.
***
На практикѣ внѣшнія силы, дѣйствующія на клинъ, не бываютъ сосредоточены въ отдѣльныхъ точкахъ; достаточно уже принять въ соображеніе одинъ собственный вѣсъ клина, распредѣ
ленный но всему его объему, для того чтобы видѣть, что но всему протяженію между крайними опорными точками а_0 и а_n дѣйствуетъ непрерывный рядъ безконечно малыхъ силъ. Затѣмъ, кромѣ соб
ственнаго вѣса, клинъ можетъ быть подверженъ нагрузкѣ, распре
дѣленной по немъ непрерывно; кромѣ вертикальныхъ силъ, на клинъ могутъ дѣйствовать и горизонтальныя или наклонныя силы, такъ-же непрерывно распредѣленныя; какъ примѣръ, приведемъ случай, когда клинъ подверженъ давленію воды, дѣйствующему во
всякой точкѣ нормально къ поверхности клина, или когда клинъ поддерживаетъ земляную насыпь; въ обоихъ этихъ случаяхъ, какъ и во множествѣ другихъ, на клинъ, по всему протяженію между крайними опорными точками, будетъ дѣйствовать непрерывный рядъ безконечно малыхъ силъ, измѣняющихся, какъ по величинѣ, такъ и по направленію, въ зависимости отъ данныхъ условій.
Иногда, кромѣ этихъ, непрерывно распредѣленныхъ но клину, внѣшнихъ усилій, представляющихъ, какъ мы сказали, рядъ без
конечно-малыхъ силъ, измѣняющихся послѣдовательно по данному закону, на клинъ могутъ дѣйствовать и конечныя усилія, кото
рыя можно разсматривать какъ сосредоточенныя въ извѣстныхъ точкахъ (напр. какое нибудь давленіе, передаваемое клину опирающимся на него стержнемъ, стойкою и т. п.). Но при сущест
вованіи такихъ сосредоточенныхъ усилій не измѣняется тотъ фактъ, что всегда, кромѣ нихъ, есть внѣшнія силы (хотя бы одинъ только собственный вѣсъ клина), распредѣленныя непрерывно по всему протяженію между крайними опорными точками. [*)]
И такъ, представимъ себѣ, что вмѣсто конечныхъ силъ р_1 р_2, р_3.....р_u(черт. 37), на клинъ дѣйствуетъ непрерывный рядъ безконечно малыхъ силъ, величина и направленіе которыхъ измѣняется послѣдовательно но данному закону.
Тогда, очевидно, многоугольникъ давленія О0 — І — ІІ — III...... N — О_п обращается въ непрерывную кривую, которую условимся называть кривою давленія.
На чертежѣ силъ многоугольникъ силъ 0—1—2—3....п также обращается въ непрерывную кривую, которую будемъ называть кривою силъ.
Пусть для клина α^0 b_0 α_n b_п (черт. 41) Р_п будетъ равнодѣйствующая всѣхъ непрерывно распредѣленныхъ по клину внѣшнихъ усилій. О_0 М и О_п М направленія противодѣйствій опоръ R_0 и R_n
кривая О_0 m_0 m_n O_n кривая давленія; далѣе пусть на чертежѣ силъ Оп есть сила Р_п, кривая От‘п — кривая силъ, r полюсъ, и rО и rп величины R_0 и R_n. Между кривою давленія и кривою силъ представляется слѣдующая зависимость:
[*)] Въ дѣйствительности, строго говоря, не можетъ существовать усилія, дѣйствующаго на одну математическую точку; всегда оно распредѣляется на, нѣкоторую площадь, и потому, собственно, не измѣняетъ того обстоятельства, что внѣшнія силы состоятъ изъ ряда непрерывно одна за другой слѣдую
щихъ безконечно малыхъ силъ; присутствіе сосредоточенной силы вліяетъ только на законъ послѣдовательнаго измѣненія величинъ и направленій этихъ безконечно малыхъ силъ.
По данной формѣ клина, т. е. по даннымъ очертаніямъ кривыхъ а_о аа_п и b_0 bb_п, а также по данному закону измѣненія сѣче
ніи клина, въ каждомъ частномъ случаѣ можно, говоря вообще, опредѣлить это слабѣйшее сѣченіе для каждой точки т. Здѣсь мы ограничимся только опредѣленіемъ слабѣйшаго сѣченія въ случаѣ наиболѣе встрѣчающемся въ практикѣ, а именно, когда кри
выя а_0 аа_п и b_0 bb_n находятся между собою вездѣ на равныхъ раз
стояніяхъ по нормалямъ, и когда сѣченія клина плоскостями по направленію этихъ нормалей вездѣ одинаковы. При этихъ условіяхъ очевидно, что всѣ центры тяжести этихъ нормальныхъ сѣченій образуютъ кривую с_0 сс_n повсюду одинаково отстоящую но
Замѣтимъ, что черезъ точку m мы можемъ вообразить безчисленное множество сѣченій; въ каждомъ изъ нихъ величины ω, с M и а_1 будутъ различны, а вслѣдствіе этого для различныхъ сѣ
ченій будемъ имѣть различныя величины наибольшихъ напряженій матеріала; очевидно, что изъ всѣхъ сѣченій одно будетъ соотвѣтствовать наибольшей величинѣ r, и это сѣченіе будетъ слабѣйшее изъ всѣхъ.
Представимъ себѣ, что точки приложенія всѣхъ дѣйствующихъ на клинъ безконечно-малыхъ, непрерывно слѣдующихъ одна за другою, силъ перенесены по направленію этихъ силъ въ точки встрѣчи ихъ съ кривою давленія (т. е. въ точки, соотвѣтствующія точкамъ I, II, III.... и т. д. многоугольника давленія (черт. 37).
Если въ какой нибудь точкѣ кривой давленія, напр. въ точкѣ m (черт. 41), проведемъ касательную къ ней m m до встрѣчи ея съ направленіями O_o M и O_n M въ точкахъ m и m , то очевидно, что черезъ точку m должна пройти равнодѣйствующая всѣхъ внѣшнихъ силъ, точки приложенія которыхъ на кривой давленія лежатъ лѣвѣе точки m, а черезъ точку m должна пройти равнодѣйствующая всѣхъ силъ, лежащихъ по кривой давленія правѣе точки m.
Если на чертежѣ силъ изъ полюса r проведемъ rm параллельно m m до встрѣчи съ кривою силъ въ точкѣ m, и эту точку m соединимъ съ О и съ n, то От будеть величина и направленіе равнодѣйствующей всѣхъ внѣшнихъ силъ для части клина лѣвѣе точки m, т. е. равнодѣйствующей, проходящей черезъ точку m ;
mn величина и направленіе равнодѣйствующей внѣшнихъ силъ для части клина правѣе точки m. т. е. равнодѣйствующей, проходящей черезъ точку m ; а rm — величина давленія, направленнаго по m m . Кромѣ того, касательная къ кривой силъ въ точкѣ m, т. е. линія m m опредѣляетъ направленіе безконечно-малой
внѣшней силы, имѣющей точку приложенія на кривой давленія въ точкѣ m.
Такимъ образомъ, каждой точкѣ m на кривой давленія соотвѣтствуетъ извѣстная точка m на кривой силъ, при чемъ касательная къ кривой давленія въ точкѣ m параллельна, соотвѣтственному полярному радіусу кривой силъ (rm); касательная къ кривой силъ въ точкѣ m параллельна направленію элементарной внѣшней силы въ точкѣ m, и хорды кривой силъ От и mn на
раллельны направленіямъ равнодѣйствующихъ двухъ группъ, на которыя подраздѣляются внѣшнія силы точкою m.
Назовемъ черезъ R давленіе, направленное по m m , черезъ P равнодѣйствующую внѣшнихъ силъ, дѣйствующихъ лѣвѣе точки m.
и черезъ P равнодѣйствующюу, внѣшнихъ силъ, дѣйствующихъ правѣе точки m. Очевидно R есть величина равнодѣйствующей силъ R_o и P, или R_n и P , что видно и на чертежѣ силъ изъ треугольниковъ rom и mnr.
Вообразимъ себѣ какое ни есть сѣченіе клина плоскостью ab, проходящею черезъ точку m; тогда можемъ разсматривать клинъ,
какъ состоящій изъ двухъ частей, а именно a_0 b_0 ab и aba_n b_n; двѣ эти части соединены по плоскости сѣченія ab неразрывно, т. е. такъ, что плоскостъ ab можетъ сопротивляться какъ давленію,
такъ и разрыву. Одна часть клина опирается на другую, производя взаимно другъ на друга въ точкѣ m давленія R по направленію линіи m m .
Зная площадь ab, и разстояніе отъ точки m до центра тяжести этой площади с, а также зная величину и направленіе R, не трудно, на основаніи формулъ, выведенныхъ нами выше, опредѣлить частичныя напряженія, которымъ подвергается матеріалъ въ сѣченіи ab. Дѣйствительно, если назовемъ черезъ с разстояніе mе, черезъ a_l и a_2 разстоянія ca и сb, черезъ M моментъ инерціи площади ab, и черезъ ω величину ея, то наибольше напряженіе,
которому подвергается матеріалъ въ площади ab вслѣдствіе давленія R, будетъ:
Р_1 — равнодѣйствующую всѣхъ данныхъ силъ отъ р_1 до р_n вклю
чительно (т. e. Р_1= Р_n).
Р _2 — равнодѣйствующую данныхъ силъ отъ р_2 до р_n включительно. Р_3′ — тоже отъ до
Р — тоже отъ р_4 до р_п и т. д., до
Р _n — отъ Р_п до р_п (т. е. Р _n = p_n)
Обозначимъ черезъ 1.2,3 (черт. 40) точки встрѣчи этихъ равнодѣйствующихъ съ направленіемъ R_п, подобно тому, какъ черезъ 1′, 2′,3′,(n-1) обозначены точки встрѣчи равнодѣйствующихъ P_1, P_2, Р_3 ...Р_n съ направленіемъ R_0 (очевидно, что 1 и (n-1) совпадутъ съ точкою M).
Если положенія равнодѣйствующихъ Р_1......Р_п и P _1......Р’_n на чертежѣ клина опредѣлены предварительно, то по разложеніи Р_n на R_о и R_n. для начертанія многоугольника давленія стоитъ только послѣдовательно соединить между собою попарно 1′ съ 2 . 2′ съ
3″ 3 съ 4 и т. д.; при атомъ линіи 1 — 2 и 2′—3 пересѣкутъ непремѣнно силу р_2 въ одной и той же точкѣ II, линіи 2 —3″ и 3 — 4″ пересѣкутъ силу р_3 обѣ въ одной точкѣ III, и т. д. (очевидно, что точка I будетъ въ точкѣ 1 , и точка N въ точкѣ п″.
***
На практикѣ внѣшнія силы, дѣйствующія на клинъ, не бываютъ сосредоточены въ отдѣльныхъ точкахъ; достаточно уже принять въ соображеніе одинъ собственный вѣсъ клина, распредѣ
ленный но всему его объему, для того чтобы видѣть, что но всему протяженію между крайними опорными точками а_0 и а_n дѣйствуетъ непрерывный рядъ безконечно малыхъ силъ. Затѣмъ, кромѣ соб
ственнаго вѣса, клинъ можетъ быть подверженъ нагрузкѣ, распре
дѣленной по немъ непрерывно; кромѣ вертикальныхъ силъ, на клинъ могутъ дѣйствовать и горизонтальныя или наклонныя силы, такъ-же непрерывно распредѣленныя; какъ примѣръ, приведемъ случай, когда клинъ подверженъ давленію воды, дѣйствующему во
всякой точкѣ нормально къ поверхности клина, или когда клинъ поддерживаетъ земляную насыпь; въ обоихъ этихъ случаяхъ, какъ и во множествѣ другихъ, на клинъ, по всему протяженію между крайними опорными точками, будетъ дѣйствовать непрерывный рядъ безконечно малыхъ силъ, измѣняющихся, какъ по величинѣ, такъ и по направленію, въ зависимости отъ данныхъ условій.
Иногда, кромѣ этихъ, непрерывно распредѣленныхъ но клину, внѣшнихъ усилій, представляющихъ, какъ мы сказали, рядъ без
конечно-малыхъ силъ, измѣняющихся послѣдовательно по данному закону, на клинъ могутъ дѣйствовать и конечныя усилія, кото
рыя можно разсматривать какъ сосредоточенныя въ извѣстныхъ точкахъ (напр. какое нибудь давленіе, передаваемое клину опирающимся на него стержнемъ, стойкою и т. п.). Но при сущест
вованіи такихъ сосредоточенныхъ усилій не измѣняется тотъ фактъ, что всегда, кромѣ нихъ, есть внѣшнія силы (хотя бы одинъ только собственный вѣсъ клина), распредѣленныя непрерывно по всему протяженію между крайними опорными точками. [*)]
И такъ, представимъ себѣ, что вмѣсто конечныхъ силъ р_1 р_2, р_3.....р_u(черт. 37), на клинъ дѣйствуетъ непрерывный рядъ безконечно малыхъ силъ, величина и направленіе которыхъ измѣняется послѣдовательно но данному закону.
Тогда, очевидно, многоугольникъ давленія О0 — І — ІІ — III...... N — О_п обращается въ непрерывную кривую, которую условимся называть кривою давленія.
На чертежѣ силъ многоугольникъ силъ 0—1—2—3....п также обращается въ непрерывную кривую, которую будемъ называть кривою силъ.
Пусть для клина α^0 b_0 α_n b_п (черт. 41) Р_п будетъ равнодѣйствующая всѣхъ непрерывно распредѣленныхъ по клину внѣшнихъ усилій. О_0 М и О_п М направленія противодѣйствій опоръ R_0 и R_n
кривая О_0 m_0 m_n O_n кривая давленія; далѣе пусть на чертежѣ силъ Оп есть сила Р_п, кривая От‘п — кривая силъ, r полюсъ, и rО и rп величины R_0 и R_n. Между кривою давленія и кривою силъ представляется слѣдующая зависимость:
[*)] Въ дѣйствительности, строго говоря, не можетъ существовать усилія, дѣйствующаго на одну математическую точку; всегда оно распредѣляется на, нѣкоторую площадь, и потому, собственно, не измѣняетъ того обстоятельства, что внѣшнія силы состоятъ изъ ряда непрерывно одна за другой слѣдую
щихъ безконечно малыхъ силъ; присутствіе сосредоточенной силы вліяетъ только на законъ послѣдовательнаго измѣненія величинъ и направленій этихъ безконечно малыхъ силъ.
По данной формѣ клина, т. е. по даннымъ очертаніямъ кривыхъ а_о аа_п и b_0 bb_п, а также по данному закону измѣненія сѣче
ніи клина, въ каждомъ частномъ случаѣ можно, говоря вообще, опредѣлить это слабѣйшее сѣченіе для каждой точки т. Здѣсь мы ограничимся только опредѣленіемъ слабѣйшаго сѣченія въ случаѣ наиболѣе встрѣчающемся въ практикѣ, а именно, когда кри
выя а_0 аа_п и b_0 bb_n находятся между собою вездѣ на равныхъ раз
стояніяхъ по нормалямъ, и когда сѣченія клина плоскостями по направленію этихъ нормалей вездѣ одинаковы. При этихъ условіяхъ очевидно, что всѣ центры тяжести этихъ нормальныхъ сѣченій образуютъ кривую с_0 сс_n повсюду одинаково отстоящую но
Замѣтимъ, что черезъ точку m мы можемъ вообразить безчисленное множество сѣченій; въ каждомъ изъ нихъ величины ω, с M и а_1 будутъ различны, а вслѣдствіе этого для различныхъ сѣ
ченій будемъ имѣть различныя величины наибольшихъ напряженій матеріала; очевидно, что изъ всѣхъ сѣченій одно будетъ соотвѣтствовать наибольшей величинѣ r, и это сѣченіе будетъ слабѣйшее изъ всѣхъ.
Представимъ себѣ, что точки приложенія всѣхъ дѣйствующихъ на клинъ безконечно-малыхъ, непрерывно слѣдующихъ одна за другою, силъ перенесены по направленію этихъ силъ въ точки встрѣчи ихъ съ кривою давленія (т. е. въ точки, соотвѣтствующія точкамъ I, II, III.... и т. д. многоугольника давленія (черт. 37).
Если въ какой нибудь точкѣ кривой давленія, напр. въ точкѣ m (черт. 41), проведемъ касательную къ ней m m до встрѣчи ея съ направленіями O_o M и O_n M въ точкахъ m и m , то очевидно, что черезъ точку m должна пройти равнодѣйствующая всѣхъ внѣшнихъ силъ, точки приложенія которыхъ на кривой давленія лежатъ лѣвѣе точки m, а черезъ точку m должна пройти равнодѣйствующая всѣхъ силъ, лежащихъ по кривой давленія правѣе точки m.
Если на чертежѣ силъ изъ полюса r проведемъ rm параллельно m m до встрѣчи съ кривою силъ въ точкѣ m, и эту точку m соединимъ съ О и съ n, то От будеть величина и направленіе равнодѣйствующей всѣхъ внѣшнихъ силъ для части клина лѣвѣе точки m, т. е. равнодѣйствующей, проходящей черезъ точку m ;
mn величина и направленіе равнодѣйствующей внѣшнихъ силъ для части клина правѣе точки m. т. е. равнодѣйствующей, проходящей черезъ точку m ; а rm — величина давленія, направленнаго по m m . Кромѣ того, касательная къ кривой силъ въ точкѣ m, т. е. линія m m опредѣляетъ направленіе безконечно-малой
внѣшней силы, имѣющей точку приложенія на кривой давленія въ точкѣ m.
Такимъ образомъ, каждой точкѣ m на кривой давленія соотвѣтствуетъ извѣстная точка m на кривой силъ, при чемъ касательная къ кривой давленія въ точкѣ m параллельна, соотвѣтственному полярному радіусу кривой силъ (rm); касательная къ кривой силъ въ точкѣ m параллельна направленію элементарной внѣшней силы въ точкѣ m, и хорды кривой силъ От и mn на
раллельны направленіямъ равнодѣйствующихъ двухъ группъ, на которыя подраздѣляются внѣшнія силы точкою m.
Назовемъ черезъ R давленіе, направленное по m m , черезъ P равнодѣйствующую внѣшнихъ силъ, дѣйствующихъ лѣвѣе точки m.
и черезъ P равнодѣйствующюу, внѣшнихъ силъ, дѣйствующихъ правѣе точки m. Очевидно R есть величина равнодѣйствующей силъ R_o и P, или R_n и P , что видно и на чертежѣ силъ изъ треугольниковъ rom и mnr.
Вообразимъ себѣ какое ни есть сѣченіе клина плоскостью ab, проходящею черезъ точку m; тогда можемъ разсматривать клинъ,
какъ состоящій изъ двухъ частей, а именно a_0 b_0 ab и aba_n b_n; двѣ эти части соединены по плоскости сѣченія ab неразрывно, т. е. такъ, что плоскостъ ab можетъ сопротивляться какъ давленію,
такъ и разрыву. Одна часть клина опирается на другую, производя взаимно другъ на друга въ точкѣ m давленія R по направленію линіи m m .
Зная площадь ab, и разстояніе отъ точки m до центра тяжести этой площади с, а также зная величину и направленіе R, не трудно, на основаніи формулъ, выведенныхъ нами выше, опредѣлить частичныя напряженія, которымъ подвергается матеріалъ въ сѣченіи ab. Дѣйствительно, если назовемъ черезъ с разстояніе mе, черезъ a_l и a_2 разстоянія ca и сb, черезъ M моментъ инерціи площади ab, и черезъ ω величину ея, то наибольше напряженіе,
которому подвергается матеріалъ въ площади ab вслѣдствіе давленія R, будетъ: