угольнику силъ при системѣ конечныхъ силъ; эта кривая опредѣляетъ величину давленія; дѣйствительно, для того, чтобы опредѣлить величину давленія, приложеннаго въ точкѣ m по направленію касательной къ кривой давленія m m , стоитъ только изъ полюса r провести прямую rm параллельную m m до встрѣчи ея съ кривою силъ въ точкѣ m; отрѣзокъ rm выразитъ по масштабу силъ искомую величину давленія [*)].
Зная величину, направленіе и точку приложенія давленія на сѣченіе ab, легко, какъ мы уже знаемъ, опредѣлить, какъ распредѣлится это давленіе по площади сѣченія, и какимъ напряженіямъ на единицу площади подвергнется матеріалъ.
Замѣтимъ, что при нашемъ изслѣдованіи мы подраздѣлили клипъ на безконечно малые элементы произвольно взятыми плоскостями а_1 b_2, .... и т. д. Положеніе каждой изъ этихъ пло
скостей можетъ быть, поэтому, измѣнено нами. Такъ, напримѣръ, положимъ, что мы будемъ измѣнять положеніе плоскости аb (черт. 44), вращая ее около горизонтальной оси, проходящей черезъ центръ тяжести с; пусть плоскость сѣченія займетъ положеніе а b ; вмѣстѣ съ измѣненіемъ сѣченія, подраздѣляющаго клинъ на двѣ части, измѣнится, вообще говоря, величина, положеніе и на
правленіе силъ P и P , а слѣдовательно, измѣнится величина, положеніе и направленіе давленія R; въ новомъ сѣченіи, при но
вомъ давленіи, матеріалъ подвергнется иному напряженію, чѣмъ въ прежнемъ. Очевидно, изъ безчисленнаго множества сѣченій,
моторы я можно провести черезъ точку с, будетъ одно, въ которомъ матеріалъ подвергнется наибольшему напряженію на единицу пло
щади, и это сѣченіе можно назвать слабѣйшимъ, предполагая при этомъ, конечно, что матеріалъ клина совершенно однороденъ но сопротивленію.
Понятно, что, подраздѣляя клинъ на элементы, слѣдуетъ выбирать для подраздѣленія именно рядъ слабѣйшихъ сѣченій.
Вообще говоря, но формѣ клина и но очертанію ограничивающихъ его поверхностей, можно предвидѣть, какія именно направ
ленія дѣлящихъ плоскостей будутъ слабѣйшія. Такъ, чѣмъ менѣе площадь сѣченія, тѣмъ больше будетъ, вообще, давленіе на единицу площади; изъ этого слѣдуетъ, что, для подраздѣленія клина на элементы, слѣдуетъ проводить рядъ плоскостей, соотвѣтствующихъ наименьшимъ площадямъ поперечныхъ сѣченій, При несложныхъ, плавныхъ, безъ крутыхъ переломовъ и изгибовъ, очертаніяхъ клина, эти сѣченія, дѣйствительно, будутъ слабѣйшими.
Иногда слабѣйшія сѣченія клина опредѣляются à priori самими свойствами клина. Такъ, если клинъ состоитъ не изъ одного цѣльнаго куска однороднаго матеріала, а изъ нѣсколькихъ частей, соединенныхъ въ швахъ какимъ нибудь болѣе слабымъ вяжущимъ веществомъ, какъ, напримѣръ, бываетъ въ сводахъ, то, очевидно, швы уже но свойству самаго матеріала представляютъ слабѣйшія сѣченія, хотя бы они и не соотвѣтствовали наименьшей площади сѣченія. Или, напримѣръ, если клинъ состоитъ изъ волокнистаго матеріала, какъ дерево, прокатное желѣзо и т. и., то, очевидно, слѣдуетъ выбирать для подраздѣленія клина па элементы направ
леніе плоскостей по соображенію съ направленіемъ волоконъ, и вотъ почему: волокнистые матеріалы, какъ извѣстно, неодинаково сопротивляются усиліямъ, направленнымъ вдоль волоконъ, и усиліямъ поперечнымъ; поэтому всякую, дѣйствующую на такой матеріалъ, силу приходится разложить па двѣ слагающія, одну — по
направленію волоконъ, и другую — по направленію поперечному къ волокнамъ. Давленіе R обыкновенно составляетъ нѣкоторый уголъ съ плоскостью сѣченія аb. Положимъ, что волокна направлены нормально къ плоскости аb (черт. 45); сила R распредѣляется,
какъ мы уже знаемъ, по площади аb неравномѣрно, производя въ каждой точкѣ этой площади давленіе по направленію параллельному силѣ R. Каждое изъ такихъ элементарныхъ давленій разложится на два: одно, по направленію волоконъ, другое — по направ
ленію нормальному къ волокнамъ; первыя произведутъ продольныя напряженія волоконъ, вторыя, находясь всѣ въ одной плоскости,
будутъ стремиться произвести по этой плоскости, такъ называемое, скалываніе или перерѣзываніе. Если же вмѣсто плоскости аb взята будетъ наклонная къ волокнамъ плоскость а b , то полу
чимъ рядъ элементарныхъ силъ, дѣйствующихъ вдоль волоконъ, и рядъ элементарныхъ силъ, дѣйствующихъ поперекъ волоконъ, но не находящихся, какъ прежде, въ одной плоскости; очевидно, эти послѣднія силы, параллельныя между собою, образуютъ нѣкоторую равнодѣйствующую имъ параллельную, которая будетъ находиться въ плоскости нормальной къ волокнамъ, гдѣ нибудь между а и b , и именно въ плоскости ab, такъ какъ она проходитъ черезъ т, точку приложенія силы R, черезъ которую непременно пройдетъ и равнодѣйствующая элементарныхъ, нормальныхъ къ волокнамъ силъ. Такимъ образомъ, эти нормальныя напряженія будутъ стре
миться произвести скалываніе, или срѣзываніе, по плоскости аb: точки же приложенія напряженій продольныхъ могутъ быть пере
несены вдоль волоконъ также въ плоскость ab, слѣдовательно, наклонное къ волокнамъ сѣченіе приводится, въ конечномъ результатѣ, къ тому же нормальному сѣченію ab.
Когда волокна матеріала направлены по клину сверху внизъ, то сѣкущія плоскости слѣдуетъ выбирать но направленію волоконъ; тогда матеріалъ подвергнется неравномѣрному давленію поперекъ волоконъ и скалыванію вдоль волоконъ.
Наконецъ, когда волокна направлены поперекъ клина, по направленію параллельному опорнымъ плоскостямъ, то какъ давленіе,
такъ и скалываніе будутъ поперекъ волоконъ; въ этомъ случаѣ выборъ сѣченій обусловливается тѣми-же соображеніями, какъ и при неволокнистомъ матеріалѣ.
Изъ всѣхъ вышеизложенныхъ соображеній мы видимъ, что полное изслѣдованіе устойчивости и прочности даннаго клипа, под
верженнаго извѣстнымъ, по извѣстному закону распредѣленнымъ усиліямъ, приводится къ начертанію трехъ вышеупомянутыхъ кри
выхъ, именно кривой силъ, кривой давленія и кривой центровъ давленія.
Начертаніе этихъ кривыхъ производится весьма просто слѣдующими графическими способами.
Подраздѣляемъ на чертежѣ данный клинъ a_0 b_0 ab_n (черт. 46) на небольшіе элементы линіями а, b, a_2 b_3,..., выбранными по на
правленію слабѣйшихъ сѣченій клина (далѣе при приложеніи разсматриваемыхъ нами теперь общихъ основаніи къ клиньямъ
различныхъ видовъ, встрѣчающимся въ практикѣ, мы разсмотримъ подробно, какими именно системами сѣченій слѣдуетъ разсѣкать клинъ въ разныхъ случаяхъ). Зная распредѣленіе внѣшнихъ усиліи по клину, можемъ опредѣлить величины, положенія и напра
вленія равнодѣйствующихъ внѣшнихъ усилій, соотвѣтствующихъ каждому элементу. Нанеся на чертежѣ клина прямыя, соотвѣт
ствующія положенію и направленію этихъ элементарныхъ силъ (назовемъ ихъ р_1, р_2, р_3··· Р_п), строимъ на чертежѣ силъ много
угольникъ этихъ силъ 0—1—2—3.... n; вершины этого многоугольника опредѣлятъ точки кривой силъ, которую но нимъ и очерчиваемъ.
Соединивъ на чертежѣ силъ точку О съ точкою п, получимъ Оn величину и направленіе общей равнодѣйствующей Р_n; опредѣливъ ея положеніе на чертежѣ клина по правиламъ графической статики (помощью предварительнаго, произвольнаго много
угольника давленія, начерченнаго но произвольно взятому на чертежѣ
силъ полюсу), опредѣляемъ направленія сопротивленій опоръ R_0 и R_n извѣстнымъ намъ порядкомъ (т. е. проведя черезъ с_0 и с_n нор
***
[*)] Въ номенклатурѣ этихъ кривыхъ мы нѣсколько отступаемъ отъ принятой терминологіи. Обыкновенно кривая, проходящая черезъ точки приложенія давленій въ швахъ сводовъ, — или что все равно, въ плоскостяхъ разсѣ
кающихъ, называется всегда кривою давленія (Mittellіпіе des Druckes
Шеффлера); то, что мы здѣсь назвали кривою давленій, т. е. извѣстный многоугольникъ давленія, или веревочный многоугольникъ о безчисленномъ числѣ безконечно малыхъ сторонъ, Шеффлеръ называетъ кривою направленій давленія (Richtungslinie des Druckes) и даетъ ей лишь весьма второстепенное мѣсто въ своей теоріи сводовъ, даже, вѣрнѣе, только вскользь упо
минаетъ о ней. (Отдѣлъ С § 40). Намъ кажется, что, перемѣнивъ названіе веревочнаго многоугольника въ томъ случаѣ, когда стороны его сдавливаются, а не вытягиваются, на болѣе подходящее названіе многоугольника давленія, необходимо было сохранить за этимъ многоугольникомъ, когда онъ обращается по мелкости сторонъ въ кривую, аналогичное названіе кривой давле
нія; вслѣдствіе этого кривую, соединяющую точки приложенія, или центры давленій въ швахъ, уже необходимо было назвать иначе; я назвалъ ее кри
вою центровъ давленіи. Впрочемъ, названія эти, конечно, чисто условныя. Третья кривая, т. е. кривая силъ, происшедшая изъ многоугольника силъ, сколько мнѣ извѣстно, до сихъ поръ но, обратила на себя вниманія изслѣдо
вателей; она составляетъ прямое слѣдствіе приложенія началъ графической статики, и связь ея съ кривой давленія весьма важна, и составляетъ важное пособіе при рѣшеніи занимающихъ· насъ вопросовъ, какъ увидимъ далѣе.
***
мали
Зная величину, направленіе и точку приложенія давленія на сѣченіе ab, легко, какъ мы уже знаемъ, опредѣлить, какъ распредѣлится это давленіе по площади сѣченія, и какимъ напряженіямъ на единицу площади подвергнется матеріалъ.
Замѣтимъ, что при нашемъ изслѣдованіи мы подраздѣлили клипъ на безконечно малые элементы произвольно взятыми плоскостями а_1 b_2, .... и т. д. Положеніе каждой изъ этихъ пло
скостей можетъ быть, поэтому, измѣнено нами. Такъ, напримѣръ, положимъ, что мы будемъ измѣнять положеніе плоскости аb (черт. 44), вращая ее около горизонтальной оси, проходящей черезъ центръ тяжести с; пусть плоскость сѣченія займетъ положеніе а b ; вмѣстѣ съ измѣненіемъ сѣченія, подраздѣляющаго клинъ на двѣ части, измѣнится, вообще говоря, величина, положеніе и на
правленіе силъ P и P , а слѣдовательно, измѣнится величина, положеніе и направленіе давленія R; въ новомъ сѣченіи, при но
вомъ давленіи, матеріалъ подвергнется иному напряженію, чѣмъ въ прежнемъ. Очевидно, изъ безчисленнаго множества сѣченій,
моторы я можно провести черезъ точку с, будетъ одно, въ которомъ матеріалъ подвергнется наибольшему напряженію на единицу пло
щади, и это сѣченіе можно назвать слабѣйшимъ, предполагая при этомъ, конечно, что матеріалъ клина совершенно однороденъ но сопротивленію.
Понятно, что, подраздѣляя клинъ на элементы, слѣдуетъ выбирать для подраздѣленія именно рядъ слабѣйшихъ сѣченій.
Вообще говоря, но формѣ клина и но очертанію ограничивающихъ его поверхностей, можно предвидѣть, какія именно направ
ленія дѣлящихъ плоскостей будутъ слабѣйшія. Такъ, чѣмъ менѣе площадь сѣченія, тѣмъ больше будетъ, вообще, давленіе на единицу площади; изъ этого слѣдуетъ, что, для подраздѣленія клина на элементы, слѣдуетъ проводить рядъ плоскостей, соотвѣтствующихъ наименьшимъ площадямъ поперечныхъ сѣченій, При несложныхъ, плавныхъ, безъ крутыхъ переломовъ и изгибовъ, очертаніяхъ клина, эти сѣченія, дѣйствительно, будутъ слабѣйшими.
Иногда слабѣйшія сѣченія клина опредѣляются à priori самими свойствами клина. Такъ, если клинъ состоитъ не изъ одного цѣльнаго куска однороднаго матеріала, а изъ нѣсколькихъ частей, соединенныхъ въ швахъ какимъ нибудь болѣе слабымъ вяжущимъ веществомъ, какъ, напримѣръ, бываетъ въ сводахъ, то, очевидно, швы уже но свойству самаго матеріала представляютъ слабѣйшія сѣченія, хотя бы они и не соотвѣтствовали наименьшей площади сѣченія. Или, напримѣръ, если клинъ состоитъ изъ волокнистаго матеріала, какъ дерево, прокатное желѣзо и т. и., то, очевидно, слѣдуетъ выбирать для подраздѣленія клина па элементы направ
леніе плоскостей по соображенію съ направленіемъ волоконъ, и вотъ почему: волокнистые матеріалы, какъ извѣстно, неодинаково сопротивляются усиліямъ, направленнымъ вдоль волоконъ, и усиліямъ поперечнымъ; поэтому всякую, дѣйствующую на такой матеріалъ, силу приходится разложить па двѣ слагающія, одну — по
направленію волоконъ, и другую — по направленію поперечному къ волокнамъ. Давленіе R обыкновенно составляетъ нѣкоторый уголъ съ плоскостью сѣченія аb. Положимъ, что волокна направлены нормально къ плоскости аb (черт. 45); сила R распредѣляется,
какъ мы уже знаемъ, по площади аb неравномѣрно, производя въ каждой точкѣ этой площади давленіе по направленію параллельному силѣ R. Каждое изъ такихъ элементарныхъ давленій разложится на два: одно, по направленію волоконъ, другое — по направ
ленію нормальному къ волокнамъ; первыя произведутъ продольныя напряженія волоконъ, вторыя, находясь всѣ въ одной плоскости,
будутъ стремиться произвести по этой плоскости, такъ называемое, скалываніе или перерѣзываніе. Если же вмѣсто плоскости аb взята будетъ наклонная къ волокнамъ плоскость а b , то полу
чимъ рядъ элементарныхъ силъ, дѣйствующихъ вдоль волоконъ, и рядъ элементарныхъ силъ, дѣйствующихъ поперекъ волоконъ, но не находящихся, какъ прежде, въ одной плоскости; очевидно, эти послѣднія силы, параллельныя между собою, образуютъ нѣкоторую равнодѣйствующую имъ параллельную, которая будетъ находиться въ плоскости нормальной къ волокнамъ, гдѣ нибудь между а и b , и именно въ плоскости ab, такъ какъ она проходитъ черезъ т, точку приложенія силы R, черезъ которую непременно пройдетъ и равнодѣйствующая элементарныхъ, нормальныхъ къ волокнамъ силъ. Такимъ образомъ, эти нормальныя напряженія будутъ стре
миться произвести скалываніе, или срѣзываніе, по плоскости аb: точки же приложенія напряженій продольныхъ могутъ быть пере
несены вдоль волоконъ также въ плоскость ab, слѣдовательно, наклонное къ волокнамъ сѣченіе приводится, въ конечномъ результатѣ, къ тому же нормальному сѣченію ab.
Когда волокна матеріала направлены по клину сверху внизъ, то сѣкущія плоскости слѣдуетъ выбирать но направленію волоконъ; тогда матеріалъ подвергнется неравномѣрному давленію поперекъ волоконъ и скалыванію вдоль волоконъ.
Наконецъ, когда волокна направлены поперекъ клина, по направленію параллельному опорнымъ плоскостямъ, то какъ давленіе,
такъ и скалываніе будутъ поперекъ волоконъ; въ этомъ случаѣ выборъ сѣченій обусловливается тѣми-же соображеніями, какъ и при неволокнистомъ матеріалѣ.
Изъ всѣхъ вышеизложенныхъ соображеній мы видимъ, что полное изслѣдованіе устойчивости и прочности даннаго клипа, под
верженнаго извѣстнымъ, по извѣстному закону распредѣленнымъ усиліямъ, приводится къ начертанію трехъ вышеупомянутыхъ кри
выхъ, именно кривой силъ, кривой давленія и кривой центровъ давленія.
Начертаніе этихъ кривыхъ производится весьма просто слѣдующими графическими способами.
Подраздѣляемъ на чертежѣ данный клинъ a_0 b_0 ab_n (черт. 46) на небольшіе элементы линіями а, b, a_2 b_3,..., выбранными по на
правленію слабѣйшихъ сѣченій клина (далѣе при приложеніи разсматриваемыхъ нами теперь общихъ основаніи къ клиньямъ
различныхъ видовъ, встрѣчающимся въ практикѣ, мы разсмотримъ подробно, какими именно системами сѣченій слѣдуетъ разсѣкать клинъ въ разныхъ случаяхъ). Зная распредѣленіе внѣшнихъ усиліи по клину, можемъ опредѣлить величины, положенія и напра
вленія равнодѣйствующихъ внѣшнихъ усилій, соотвѣтствующихъ каждому элементу. Нанеся на чертежѣ клина прямыя, соотвѣт
ствующія положенію и направленію этихъ элементарныхъ силъ (назовемъ ихъ р_1, р_2, р_3··· Р_п), строимъ на чертежѣ силъ много
угольникъ этихъ силъ 0—1—2—3.... n; вершины этого многоугольника опредѣлятъ точки кривой силъ, которую но нимъ и очерчиваемъ.
Соединивъ на чертежѣ силъ точку О съ точкою п, получимъ Оn величину и направленіе общей равнодѣйствующей Р_n; опредѣливъ ея положеніе на чертежѣ клина по правиламъ графической статики (помощью предварительнаго, произвольнаго много
угольника давленія, начерченнаго но произвольно взятому на чертежѣ
силъ полюсу), опредѣляемъ направленія сопротивленій опоръ R_0 и R_n извѣстнымъ намъ порядкомъ (т. е. проведя черезъ с_0 и с_n нор
***
[*)] Въ номенклатурѣ этихъ кривыхъ мы нѣсколько отступаемъ отъ принятой терминологіи. Обыкновенно кривая, проходящая черезъ точки приложенія давленій въ швахъ сводовъ, — или что все равно, въ плоскостяхъ разсѣ
кающихъ, называется всегда кривою давленія (Mittellіпіе des Druckes
Шеффлера); то, что мы здѣсь назвали кривою давленій, т. е. извѣстный многоугольникъ давленія, или веревочный многоугольникъ о безчисленномъ числѣ безконечно малыхъ сторонъ, Шеффлеръ называетъ кривою направленій давленія (Richtungslinie des Druckes) и даетъ ей лишь весьма второстепенное мѣсто въ своей теоріи сводовъ, даже, вѣрнѣе, только вскользь упо
минаетъ о ней. (Отдѣлъ С § 40). Намъ кажется, что, перемѣнивъ названіе веревочнаго многоугольника въ томъ случаѣ, когда стороны его сдавливаются, а не вытягиваются, на болѣе подходящее названіе многоугольника давленія, необходимо было сохранить за этимъ многоугольникомъ, когда онъ обращается по мелкости сторонъ въ кривую, аналогичное названіе кривой давле
нія; вслѣдствіе этого кривую, соединяющую точки приложенія, или центры давленій въ швахъ, уже необходимо было назвать иначе; я назвалъ ее кри
вою центровъ давленіи. Впрочемъ, названія эти, конечно, чисто условныя. Третья кривая, т. е. кривая силъ, происшедшая изъ многоугольника силъ, сколько мнѣ извѣстно, до сихъ поръ но, обратила на себя вниманія изслѣдо
вателей; она составляетъ прямое слѣдствіе приложенія началъ графической статики, и связь ея съ кривой давленія весьма важна, и составляетъ важное пособіе при рѣшеніи занимающихъ· насъ вопросовъ, какъ увидимъ далѣе.
***
мали