изъ чего слѣдуетъ, что точки п′ и п″ должны совпадать, и что три точки, т′, т и п должны находиться на одной прямой, параллельной прямой О_0 О_2.
[*)] Гиперболы.
[*)] Полученныя кривыя суть гиперболы; лѣвая будетъ имҍть асимптоты параллельныя прямымъ т_1 — т_2 и О—I чертежа силъ, или параллельныя: одна — прямой, соединяющей точки а_0 и а_2, другая — направленію силы р_1, асимптоты правой будутъ параллельны а_о a_2 и силѣ р_2; лҍвая будетъ проходить черезъ точки а_0 и а_1 правая чрезъ точки а_1 и а_2. Это станетъ ясно, если будемъ брать точки для построенія кривыхъ на всемъ безпредѣльномъ протяженіи примой т_1 — т_2 чертежи силъ.
получимъ точку и, соотвѣтствующую точкѣ u; такимъ порядкомъ получаются на чертежѣ системы кривыя HI и LK [*)].
Затѣмъ, площадь CKLDHI составляетъ предѣлъ для перемѣщенія силы Р_2.
Разсмотримъ положеніе силы Р_2 въ четырехъ предѣльныхъ точкахъ, а именно въ Η, I, К и L.
При соблюденіи этихъ предѣловъ въ отдѣльности для каждой изъ силъ р_1 и р_2, для равновѣсія необходимо, кромѣ того, чтобы равнодѣйствующая этихъ силъ, т. е. сила P_0, заключалась между предѣлами Н и K: поэтому одновременное нахожденіе силъ p_1 и р_2
въ крайнихъ лѣвыхъ предѣлахъ, т. е. первой въ точкѣ J , а вто
рой въ точкѣ H″, невозможно ибо тогда ихъ равнодѣйствующая прошла-бы черезъ точку А, что неудовлетворяло-бы условію равновѣсія. Тоже относится и къ крайнимъ правымъ предѣламъ L и К″.
Очевидно, что два построенные нами многоугольника давленія будутъ предѣлами для всѣхъ многоугольниковъ давленія, при которыхъ, въ случаѣ разсматриваемаго положенія силы P_2, т. е. на линіи М_1 М_2. равновѣсіе системы не будетъ нарушено. При первомъ многоугольникѣ силы р_1 и р_2 должны проходить черезъ
точки I_1 и II_1 при второмъ — черезъ точки І_2 и ІІ_2; поэтому точки I_1 и І_2 будутъ предѣлами положеній силы р_1, а точка ІІ_1 и ІІ_2 предѣлами положеній силы р_2 въ томъ случаѣ, когда сила P_2 находится въ М_1 М_2.
Затѣмъ, если намъ будеть дана система двухъ тѣлъ, взаимно упирающихся такъ, какъ мы сейчасъ разсматривали, и на которыя дѣйствують данныя внѣшнія силы р_1 и р_2, то намъ уже легко, вопервыхъ, узнать, будетъ ли система находиться въ равновѣсіи, вовторыхъ, опредѣлить величину и направленіе давленій какъ на
каждую изъ опоръ, такъ и на ребро взаимнаго упора тѣлъ. Для этого мы поступаемъ слѣдующимъ порядкомъ:
Если направленіе силы Р_2 пересѣкаетъ площадь этой фигуры, то это есть одинъ изъ признаковъ, что равновѣсіе системы возможно. Далѣе, для опредѣленія многоугольника давленія, переносимъ соотвѣтственно отрѣзокъ прямой M_1 М_2, т. е. часть направ
ленія силы Р_2, заключающуюся въ предѣлахъ площади DLKСІH, на чертежъ силъ извѣстнымъ намъ порядкомъ; получаемъ прямую m_1 m_2, по которой легко уже на чертежѣ системы построить кривыя I_1 I′ I″ I″′....I_2 и ІІ_1 II II″ ІІ .....II_2. Если данныя силы
р_1 и р_2 пересѣкаютъ эти кривыя между предѣльными точками I_1
и I_2 (соотв. II_1 и ІІ_2), то равновѣсіе (статическое) системы несомнѣнно, и точки пересѣченія I и II будутъ вершинами искомаго
многоугольника давленія. Проведемъ прямыя а_0 І и а_2 II, т. е. первую и третью стороны этого многоугольника, до взаимной встрѣчи ихъ въ точкѣ М, которая по свойству многоугольниковъ давленія будетъ находиться на прямой М_1 М_2, затѣмъ соединимъ между со
бою I и II; получимъ очертаніе искомаго многоугольника давленія. Проведя па чертежѣ силъ О—т параллельно Ма_0, и 2—m парал
лельно а_2 М, получимъ полюсъ m, который долженъ находиться на прямой m_1 — m2; величины т—О, т—1 и т—2 выразятъ искомыя давленія R_0, R_1 и R_2, при чемъ m—1 должно быть параллельно сторонѣ многоугольника I II.
Впрочемъ, примѣненіе чертежа силъ даетъ намъ болѣе простой способъ для построенія многоугольника давленія непосредственно, безъ построенія кривыхъ I_1 I′ I″ I″′.....I_2, и II_1 II′ II″ II″′......II_2
И дѣйствительно, мы видѣли уже, что полюсъ искомаго многоугольника давленія долженъ находиться на прямой m_1 — m_2, парал
лельной а_0 а_2, и представляющей прямую отвѣтствующую па чертежѣ системы прямой М_1 М_2, т. е. направленію равнодѣйствующей P_2. Если мы точки P_2′ и Р_2 соединимъ съ а_1 и на чертежѣ силъ проведемь изъ точки 1 соотвѣтственно параллельныя имъ 1—р_2′ и 1-р_2″, до встрѣчи съ 2—m_1 и 2—т_2, то направленіе р_2 р_2 будетъ параллельно а_2 а_1 и представитъ прямую соотвѣтствующую направленію силы р_2. Полюсъ искомаго многоугольника долженъ находиться и на этой прямой также, какъ и на прямой m_1—m_2, потому что сила р_2 проходитъ черезъ вершину искомаго многоугольника, значитъ, вторая сторона многоугольника будетъ сое
динять одну изъ точекъ силы р_2 съ точкою a_1, а слѣдовательно и на чертежѣ силъ искомый полюсъ будетъ находиться гдѣ нибудь на р_2 р_2 , то-есть онъ будетъ на пересѣченіи прямыхъ m_1 — т_2 и р_2′ — р_2″ т. е. въ точкѣ m.
Очевидно, что если построимъ прямую р _1—р“_1, соотвѣтствую
[*)] Гиперболы.
[*)] Полученныя кривыя суть гиперболы; лѣвая будетъ имҍть асимптоты параллельныя прямымъ т_1 — т_2 и О—I чертежа силъ, или параллельныя: одна — прямой, соединяющей точки а_0 и а_2, другая — направленію силы р_1, асимптоты правой будутъ параллельны а_о a_2 и силѣ р_2; лҍвая будетъ проходить черезъ точки а_0 и а_1 правая чрезъ точки а_1 и а_2. Это станетъ ясно, если будемъ брать точки для построенія кривыхъ на всемъ безпредѣльномъ протяженіи примой т_1 — т_2 чертежи силъ.
получимъ точку и, соотвѣтствующую точкѣ u; такимъ порядкомъ получаются на чертежѣ системы кривыя HI и LK [*)].
Затѣмъ, площадь CKLDHI составляетъ предѣлъ для перемѣщенія силы Р_2.
Разсмотримъ положеніе силы Р_2 въ четырехъ предѣльныхъ точкахъ, а именно въ Η, I, К и L.
При соблюденіи этихъ предѣловъ въ отдѣльности для каждой изъ силъ р_1 и р_2, для равновѣсія необходимо, кромѣ того, чтобы равнодѣйствующая этихъ силъ, т. е. сила P_0, заключалась между предѣлами Н и K: поэтому одновременное нахожденіе силъ p_1 и р_2
въ крайнихъ лѣвыхъ предѣлахъ, т. е. первой въ точкѣ J , а вто
рой въ точкѣ H″, невозможно ибо тогда ихъ равнодѣйствующая прошла-бы черезъ точку А, что неудовлетворяло-бы условію равновѣсія. Тоже относится и къ крайнимъ правымъ предѣламъ L и К″.
Очевидно, что два построенные нами многоугольника давленія будутъ предѣлами для всѣхъ многоугольниковъ давленія, при которыхъ, въ случаѣ разсматриваемаго положенія силы P_2, т. е. на линіи М_1 М_2. равновѣсіе системы не будетъ нарушено. При первомъ многоугольникѣ силы р_1 и р_2 должны проходить черезъ
точки I_1 и II_1 при второмъ — черезъ точки І_2 и ІІ_2; поэтому точки I_1 и І_2 будутъ предѣлами положеній силы р_1, а точка ІІ_1 и ІІ_2 предѣлами положеній силы р_2 въ томъ случаѣ, когда сила P_2 находится въ М_1 М_2.
Затѣмъ, если намъ будеть дана система двухъ тѣлъ, взаимно упирающихся такъ, какъ мы сейчасъ разсматривали, и на которыя дѣйствують данныя внѣшнія силы р_1 и р_2, то намъ уже легко, вопервыхъ, узнать, будетъ ли система находиться въ равновѣсіи, вовторыхъ, опредѣлить величину и направленіе давленій какъ на
каждую изъ опоръ, такъ и на ребро взаимнаго упора тѣлъ. Для этого мы поступаемъ слѣдующимъ порядкомъ:
Если направленіе силы Р_2 пересѣкаетъ площадь этой фигуры, то это есть одинъ изъ признаковъ, что равновѣсіе системы возможно. Далѣе, для опредѣленія многоугольника давленія, переносимъ соотвѣтственно отрѣзокъ прямой M_1 М_2, т. е. часть направ
ленія силы Р_2, заключающуюся въ предѣлахъ площади DLKСІH, на чертежъ силъ извѣстнымъ намъ порядкомъ; получаемъ прямую m_1 m_2, по которой легко уже на чертежѣ системы построить кривыя I_1 I′ I″ I″′....I_2 и ІІ_1 II II″ ІІ .....II_2. Если данныя силы
р_1 и р_2 пересѣкаютъ эти кривыя между предѣльными точками I_1
и I_2 (соотв. II_1 и ІІ_2), то равновѣсіе (статическое) системы несомнѣнно, и точки пересѣченія I и II будутъ вершинами искомаго
многоугольника давленія. Проведемъ прямыя а_0 І и а_2 II, т. е. первую и третью стороны этого многоугольника, до взаимной встрѣчи ихъ въ точкѣ М, которая по свойству многоугольниковъ давленія будетъ находиться на прямой М_1 М_2, затѣмъ соединимъ между со
бою I и II; получимъ очертаніе искомаго многоугольника давленія. Проведя па чертежѣ силъ О—т параллельно Ма_0, и 2—m парал
лельно а_2 М, получимъ полюсъ m, который долженъ находиться на прямой m_1 — m2; величины т—О, т—1 и т—2 выразятъ искомыя давленія R_0, R_1 и R_2, при чемъ m—1 должно быть параллельно сторонѣ многоугольника I II.
Впрочемъ, примѣненіе чертежа силъ даетъ намъ болѣе простой способъ для построенія многоугольника давленія непосредственно, безъ построенія кривыхъ I_1 I′ I″ I″′.....I_2, и II_1 II′ II″ II″′......II_2
И дѣйствительно, мы видѣли уже, что полюсъ искомаго многоугольника давленія долженъ находиться на прямой m_1 — m_2, парал
лельной а_0 а_2, и представляющей прямую отвѣтствующую па чертежѣ системы прямой М_1 М_2, т. е. направленію равнодѣйствующей P_2. Если мы точки P_2′ и Р_2 соединимъ съ а_1 и на чертежѣ силъ проведемь изъ точки 1 соотвѣтственно параллельныя имъ 1—р_2′ и 1-р_2″, до встрѣчи съ 2—m_1 и 2—т_2, то направленіе р_2 р_2 будетъ параллельно а_2 а_1 и представитъ прямую соотвѣтствующую направленію силы р_2. Полюсъ искомаго многоугольника долженъ находиться и на этой прямой также, какъ и на прямой m_1—m_2, потому что сила р_2 проходитъ черезъ вершину искомаго многоугольника, значитъ, вторая сторона многоугольника будетъ сое
динять одну изъ точекъ силы р_2 съ точкою a_1, а слѣдовательно и на чертежѣ силъ искомый полюсъ будетъ находиться гдѣ нибудь на р_2 р_2 , то-есть онъ будетъ на пересѣченіи прямыхъ m_1 — т_2 и р_2′ — р_2″ т. е. въ точкѣ m.
Очевидно, что если построимъ прямую р _1—р“_1, соотвѣтствую