чаетъ опору a_2 b_2 въ предѣлахъ между а_2 и b_2 и не производитъ въ ней скользtнія, а также если не послѣдуетъ раздробленія ни въ одномъ изъ швовъ.
Равнымъ образомъ равновѣсіе возможно, если третій многоульникъ давленія М_о М′_1 M_2 О_2 (черт. 49) удовлетворяетъ условіямъ равновѣсія.
Наконецъ равновѣсіе системы возможно, если при четвертомъ многоугольникѣ давленія не происходитъ раздробленія матеріала (остальныя условія при немъ удовлетворены).
Равновѣсіе системы тѣмъ болѣе возможно, когда одновременно два, три или всѣ четыре многоугольника давленія удовлетворяютъ условіямъ равновѣсія.
Замѣтимъ, что каждый изъ двухъ клиньевъ разсматриваемой системы можетъ состоять изъ многихъ мелкихъ клиньевъ, связан
ныхъ между собою вяжущимъ веществомъ; тогда вмѣсто каждаго изъ построенныхъ нами многоугольниковъ будетъ кривая давленія,
вписанная въ соотвѣтственный ей многоугольникъ касательно къ его сторонамъ. Понятно, что все, только что сказанное нами отно
сительно многоугольниковъ давленія, относится одинаково и къ кривымъ давленія.
Если изъ построенныхъ нами четырехъ кривыхъ давленія три не удовлетворяютъ условіямъ равновѣсія, а одна только которая нибудь удовлетворяетъ, то очевидно, что система все-таки бу
детъ въ равновѣсіи, и изъ всѣхъ четырехъ кривыхъ давленія одна только послѣдняя будетъ въ дѣйствительности имѣть мѣсто. Въ этомъ случаѣ вопросъ о кривой давленія не представляетъ никакой неопредѣленности.
Но когда двѣ, три или четыре кривыя давленія удовлетворяютъ равновѣсію, то является вопросъ: которая же изъ нихъ будетъ имѣть мѣсто въ дѣйствительности, т. е. по которой распредѣляются въ дѣйствительности усилія, дѣйствующія на систему?
Для рѣшенія этого вопроса прежде всего примемъ въ соображеніе слѣдующее:
1) Если изъ числа четырехъ кривыхъ давленія, при трехъ равновѣсіе системы нарушается, а сохраняется только при одной,
то эта послѣдняя и будетъ имѣть мѣсто въ дѣйствительности. Въ самомъ дѣлѣ, разложеніе внѣшнихъ силъ р_1 р_2.... и т. д., каждой на двѣ слагающія, производящія давленіе на грани отдѣльныхъ клиньевъ, не можетъ произойти иначе, какъ по одной изъ опредѣленныхъ нами четырехъ кривыхъ давленія. До тѣхъ поръ, пока возможно хоть однр такое разложеніе силъ, дѣйствующихъ на клинья, при кото
ромъ система остается въ равновѣсіи, это равновѣсіе и не будетъ нарушено. Если изъ четырехъ возможныхъ порядковъ разложенія хотя при одномъ равновѣсіе системы сохраняется, то значитъ, оно непремѣнно и сохранится, и слѣдовательно, разложеніе послѣдуетъ этимъ именно порядкомъ.
2) Всѣ четыре кривыя давленія не зависятъ отъ абсолютной величины внѣшнихъ силъ; мы можемъ замѣнить силы р_1 р_2 р_3....
силами np_1, пр_2, пр_3... , сохраняя лишь при этомъ прежнія направленія и точки приложенія, и отъ этого ни одна изъ опредѣленныхъ нами четырехъ кривыхъ не измѣнится.
Теперь обратимъ вниманіе на то, что каждая изъ кривыхъ давленія опредѣляетъ въ разсматриваемой системѣ одинъ слабѣйшій шовъ, этой кривой соотвѣтствующій.
Степень слабости этихъ четырехъ швовъ будетъ, за исключеніемъ частнаго случая, неодинаковая.
Мы видѣли выше, что относительная слабость какого либо шва выражается дробью
Положимъ, что первоначально слабѣйшіе швы всѣхъ четырехъ кривыхъ давленія совершенно прочны, какъ и быть должно, если всѣ четыре кривыя удовлетворяютъ равновѣсію системы. Однако, такъ какъ эти швы не одинаково прочны, то одинъ изъ четырехъ будетъ ближе остальныхъ къ предѣлу прочности. Вообразимъ те
перь, что мы постепенно и равномѣрно увеличиваемъ внѣшнія силы; вмѣстѣ съ этимъ будутъ пропорціонально увеличиваться и напряженія на единицу площади разсматриваемыхъ швовъ. При этомъ мы дойдемъ до такого момента, послѣ котораго самый слабый изъ швовъ перейдетъ за предѣлъ разрушенія. Система въ такомъ положеніи, однако-же, еще не можетъ быть признана не
прочною, потому что остаются еще три кривыхъ, по одной изъ которыхъ усилія могутъ распредѣлиться, не производя разрушенія. По мѣрѣ дальнѣйшаго увеличенія внѣшнихъ силъ останется только
у которой числитель единица,
а знаменатель тѣмъ меньше, чѣмъ больше напряженіе на единицу площади шва. Когда эта дробь равна единицѣ, то шовъ нахо
дится на предѣлѣ прочности; когда она превышаетъ единицу, то шовъ подвергается разрушенію.
двѣ возможныхъ кривыхъ давленія, а затѣмъ и одна. Эта послѣдняя и будетъ дѣйствительною кривою давленія, такъ какъ она есть единственная возможная при томъ напряженіи внѣшнихъ силъ, до котораго мы довели ихъ постепеннымъ и равномѣрнымъ увеличеніемъ.
Теперь вообразимъ себѣ, что послѣ этого внѣшнія силы начнутъ точно также постепенно и равномѣрно уменьшаться; при этомъ та кривая давленія, которая оставалась единственной, а слѣдовательно и дѣйствительной, не будетъ имѣть рѣшительно никакой причины перемѣнитъ свое положеніе, перейти внезапно въ одно изъ трехъ другихъ очертаній. Напротивъ того, система только при ней можетъ становиться все болѣе и болѣе прочною по мѣрѣ уменьшенія внѣшнихъ силъ; тогда какъ если предполо
жить, что эта кривая давленія въ какой либо моментъ внезапно замѣнилась другою, то въ слѣдующій моментъ внѣшнія силы стали бы меньше (уменьшеніе ихъ все продолжается), а напряженіе на единицу площади въ швахъ оказалось бы больше предыдущаго; такимъ образомъ оказалось бы, что при меньшихъ внѣшнихъ си
лахъ швы подвергаются большимъ напряженіямъ, чего, очевидно, допустить нельзя.
Итакъ, изъ четырехъ возможныхъ въ разсматриваемой ситемѣ кривыхъ давленія дѣйствительною будетъ та, при которой сла
бѣйшій шовъ системы будетъ наиболѣе проченъ или наименѣе напряженъ [(*)].
* * *
Теперь разсмотримъ систему, состоящую изъ трехъ отдѣльныхъ взаимно упирающихся клиньевъ.
Обратимся прежде къ простѣйшему виду такой системы, именно разсмотримъ три тѣла, опирающійся между собою и на неподвижныя опорныя плоскости только одними ребрами а_о, а_1, а_2 и a (черт. 55).
Разсматривая систему изъ двухъ такихъ тѣлъ (черт. 50), мы видѣли, что всегда возможно построить многоугольникъ давленія, проходящій черезъ три данныя точки упора а_0, а_1 и а_2 ; для равно
вѣсія тогда нужно было только, чтобы стороны этого могоугольника составляли съ нормалями къ плоскостямъ упора углы не болѣе φ.
Когда же мы имѣемъ четыре точки упора, то равновѣсіе, говоря вообще, невозможно, ибо многоугольникъ давленія, построен -
ный черезъ какія либо три изъ числа данныхъ точекъ упора, не будетъ, кромѣ частнаго случая, проходитъ черезъ четвертую, какъ это видно изъ построенія, показаннаго на (черт. 55).
Замѣтимъ, что различныхъ многоугольниковъ давленія, проходящихъ черезъ три изъ числа данныхъ точекъ упора , мы можемъ построить въ системѣ столько, сколько различныхъ комбинаціи по три точки можемъ мы составить изъ всѣхъ данныхъ точекъ упора; въ настоящемъ случаѣ всѣхъ точекъ упора четыре, и мы
можемъ составить изъ нихъ четыре различныя комбинаціи по три точки въ каждой, такъ что всѣхъ многоугольниковъ давленія можемъ вообразить четыре, а именно:
Если вмѣсто реберъ а_0 , а_1, а_2 и а_3 клинья будутъ упираться между собою конечными площадями, при нѣкоторой болѣе или менѣе значительной толщинѣ въ швахъ, то въ такой системѣ равновѣсіе можетъ имѣть мѣсто.
Въ самомъ дѣлѣ, въ разсматриваемой системѣ изъ трехъ клиньевъ мы можемъ вообразить себѣ нѣсколько возможныхъ многоугольниковъ давленія, а именно:
1) Мы можемъ разсматривать одинъ иди болѣе отдѣльныхъ клиньевъ, заключающихся между любою парою швовъ, какъ одинъ цѣльный клинъ; построивъ въ такомъ клинѣ соотвѣтственный ему, совершенно опредѣленный, извѣстный намъ многоугольникъ давленія, мы продолжаемъ его въ частяхъ системы, лежащей внѣ избранной нами пары швовъ; такихъ многоугольниковъ въ системѣ мо
жетъ быть столько, сколько различныхъ комбинацій по два шва можно составить изъ всѣхъ четырехъ швовъ системы, т. е.
3 + 2 + 1 = 6.
[(*)] Выводъ нашъ совершенно согласуется съ извѣстнымъ закономъ наименьшаго сопротивленія; на основаніи этого закона можно было и á priori прійти къ выведенному нами заключенію.
Равнымъ образомъ равновѣсіе возможно, если третій многоульникъ давленія М_о М′_1 M_2 О_2 (черт. 49) удовлетворяетъ условіямъ равновѣсія.
Наконецъ равновѣсіе системы возможно, если при четвертомъ многоугольникѣ давленія не происходитъ раздробленія матеріала (остальныя условія при немъ удовлетворены).
Равновѣсіе системы тѣмъ болѣе возможно, когда одновременно два, три или всѣ четыре многоугольника давленія удовлетворяютъ условіямъ равновѣсія.
Замѣтимъ, что каждый изъ двухъ клиньевъ разсматриваемой системы можетъ состоять изъ многихъ мелкихъ клиньевъ, связан
ныхъ между собою вяжущимъ веществомъ; тогда вмѣсто каждаго изъ построенныхъ нами многоугольниковъ будетъ кривая давленія,
вписанная въ соотвѣтственный ей многоугольникъ касательно къ его сторонамъ. Понятно, что все, только что сказанное нами отно
сительно многоугольниковъ давленія, относится одинаково и къ кривымъ давленія.
Если изъ построенныхъ нами четырехъ кривыхъ давленія три не удовлетворяютъ условіямъ равновѣсія, а одна только которая нибудь удовлетворяетъ, то очевидно, что система все-таки бу
детъ въ равновѣсіи, и изъ всѣхъ четырехъ кривыхъ давленія одна только послѣдняя будетъ въ дѣйствительности имѣть мѣсто. Въ этомъ случаѣ вопросъ о кривой давленія не представляетъ никакой неопредѣленности.
Но когда двѣ, три или четыре кривыя давленія удовлетворяютъ равновѣсію, то является вопросъ: которая же изъ нихъ будетъ имѣть мѣсто въ дѣйствительности, т. е. по которой распредѣляются въ дѣйствительности усилія, дѣйствующія на систему?
Для рѣшенія этого вопроса прежде всего примемъ въ соображеніе слѣдующее:
1) Если изъ числа четырехъ кривыхъ давленія, при трехъ равновѣсіе системы нарушается, а сохраняется только при одной,
то эта послѣдняя и будетъ имѣть мѣсто въ дѣйствительности. Въ самомъ дѣлѣ, разложеніе внѣшнихъ силъ р_1 р_2.... и т. д., каждой на двѣ слагающія, производящія давленіе на грани отдѣльныхъ клиньевъ, не можетъ произойти иначе, какъ по одной изъ опредѣленныхъ нами четырехъ кривыхъ давленія. До тѣхъ поръ, пока возможно хоть однр такое разложеніе силъ, дѣйствующихъ на клинья, при кото
ромъ система остается въ равновѣсіи, это равновѣсіе и не будетъ нарушено. Если изъ четырехъ возможныхъ порядковъ разложенія хотя при одномъ равновѣсіе системы сохраняется, то значитъ, оно непремѣнно и сохранится, и слѣдовательно, разложеніе послѣдуетъ этимъ именно порядкомъ.
2) Всѣ четыре кривыя давленія не зависятъ отъ абсолютной величины внѣшнихъ силъ; мы можемъ замѣнить силы р_1 р_2 р_3....
силами np_1, пр_2, пр_3... , сохраняя лишь при этомъ прежнія направленія и точки приложенія, и отъ этого ни одна изъ опредѣленныхъ нами четырехъ кривыхъ не измѣнится.
Теперь обратимъ вниманіе на то, что каждая изъ кривыхъ давленія опредѣляетъ въ разсматриваемой системѣ одинъ слабѣйшій шовъ, этой кривой соотвѣтствующій.
Степень слабости этихъ четырехъ швовъ будетъ, за исключеніемъ частнаго случая, неодинаковая.
Мы видѣли выше, что относительная слабость какого либо шва выражается дробью
Положимъ, что первоначально слабѣйшіе швы всѣхъ четырехъ кривыхъ давленія совершенно прочны, какъ и быть должно, если всѣ четыре кривыя удовлетворяютъ равновѣсію системы. Однако, такъ какъ эти швы не одинаково прочны, то одинъ изъ четырехъ будетъ ближе остальныхъ къ предѣлу прочности. Вообразимъ те
перь, что мы постепенно и равномѣрно увеличиваемъ внѣшнія силы; вмѣстѣ съ этимъ будутъ пропорціонально увеличиваться и напряженія на единицу площади разсматриваемыхъ швовъ. При этомъ мы дойдемъ до такого момента, послѣ котораго самый слабый изъ швовъ перейдетъ за предѣлъ разрушенія. Система въ такомъ положеніи, однако-же, еще не можетъ быть признана не
прочною, потому что остаются еще три кривыхъ, по одной изъ которыхъ усилія могутъ распредѣлиться, не производя разрушенія. По мѣрѣ дальнѣйшаго увеличенія внѣшнихъ силъ останется только
у которой числитель единица,
а знаменатель тѣмъ меньше, чѣмъ больше напряженіе на единицу площади шва. Когда эта дробь равна единицѣ, то шовъ нахо
дится на предѣлѣ прочности; когда она превышаетъ единицу, то шовъ подвергается разрушенію.
двѣ возможныхъ кривыхъ давленія, а затѣмъ и одна. Эта послѣдняя и будетъ дѣйствительною кривою давленія, такъ какъ она есть единственная возможная при томъ напряженіи внѣшнихъ силъ, до котораго мы довели ихъ постепеннымъ и равномѣрнымъ увеличеніемъ.
Теперь вообразимъ себѣ, что послѣ этого внѣшнія силы начнутъ точно также постепенно и равномѣрно уменьшаться; при этомъ та кривая давленія, которая оставалась единственной, а слѣдовательно и дѣйствительной, не будетъ имѣть рѣшительно никакой причины перемѣнитъ свое положеніе, перейти внезапно въ одно изъ трехъ другихъ очертаній. Напротивъ того, система только при ней можетъ становиться все болѣе и болѣе прочною по мѣрѣ уменьшенія внѣшнихъ силъ; тогда какъ если предполо
жить, что эта кривая давленія въ какой либо моментъ внезапно замѣнилась другою, то въ слѣдующій моментъ внѣшнія силы стали бы меньше (уменьшеніе ихъ все продолжается), а напряженіе на единицу площади въ швахъ оказалось бы больше предыдущаго; такимъ образомъ оказалось бы, что при меньшихъ внѣшнихъ си
лахъ швы подвергаются большимъ напряженіямъ, чего, очевидно, допустить нельзя.
Итакъ, изъ четырехъ возможныхъ въ разсматриваемой ситемѣ кривыхъ давленія дѣйствительною будетъ та, при которой сла
бѣйшій шовъ системы будетъ наиболѣе проченъ или наименѣе напряженъ [(*)].
* * *
Теперь разсмотримъ систему, состоящую изъ трехъ отдѣльныхъ взаимно упирающихся клиньевъ.
Обратимся прежде къ простѣйшему виду такой системы, именно разсмотримъ три тѣла, опирающійся между собою и на неподвижныя опорныя плоскости только одними ребрами а_о, а_1, а_2 и a (черт. 55).
Разсматривая систему изъ двухъ такихъ тѣлъ (черт. 50), мы видѣли, что всегда возможно построить многоугольникъ давленія, проходящій черезъ три данныя точки упора а_0, а_1 и а_2 ; для равно
вѣсія тогда нужно было только, чтобы стороны этого могоугольника составляли съ нормалями къ плоскостямъ упора углы не болѣе φ.
Когда же мы имѣемъ четыре точки упора, то равновѣсіе, говоря вообще, невозможно, ибо многоугольникъ давленія, построен -
ный черезъ какія либо три изъ числа данныхъ точекъ упора, не будетъ, кромѣ частнаго случая, проходитъ черезъ четвертую, какъ это видно изъ построенія, показаннаго на (черт. 55).
Замѣтимъ, что различныхъ многоугольниковъ давленія, проходящихъ черезъ три изъ числа данныхъ точекъ упора , мы можемъ построить въ системѣ столько, сколько различныхъ комбинаціи по три точки можемъ мы составить изъ всѣхъ данныхъ точекъ упора; въ настоящемъ случаѣ всѣхъ точекъ упора четыре, и мы
можемъ составить изъ нихъ четыре различныя комбинаціи по три точки въ каждой, такъ что всѣхъ многоугольниковъ давленія можемъ вообразить четыре, а именно:
Если вмѣсто реберъ а_0 , а_1, а_2 и а_3 клинья будутъ упираться между собою конечными площадями, при нѣкоторой болѣе или менѣе значительной толщинѣ въ швахъ, то въ такой системѣ равновѣсіе можетъ имѣть мѣсто.
Въ самомъ дѣлѣ, въ разсматриваемой системѣ изъ трехъ клиньевъ мы можемъ вообразить себѣ нѣсколько возможныхъ многоугольниковъ давленія, а именно:
1) Мы можемъ разсматривать одинъ иди болѣе отдѣльныхъ клиньевъ, заключающихся между любою парою швовъ, какъ одинъ цѣльный клинъ; построивъ въ такомъ клинѣ соотвѣтственный ему, совершенно опредѣленный, извѣстный намъ многоугольникъ давленія, мы продолжаемъ его въ частяхъ системы, лежащей внѣ избранной нами пары швовъ; такихъ многоугольниковъ въ системѣ мо
жетъ быть столько, сколько различныхъ комбинацій по два шва можно составить изъ всѣхъ четырехъ швовъ системы, т. е.
3 + 2 + 1 = 6.
[(*)] Выводъ нашъ совершенно согласуется съ извѣстнымъ закономъ наименьшаго сопротивленія; на основаніи этого закона можно было и á priori прійти къ выведенному нами заключенію.